算法题目技巧总结
有关平均值的一个技巧
判断一个区间\(a_n~a_m\)的平均值avg是否大于一个数b，可等价为判断前缀和数组中\(s_m\)与\(s_{n-1}\)的大小关系
证明：
\(avg = \frac{\displaystyle \sum_{n \ \leq i \ \leq \ m}a[i]}{m - n + 1}\)
\(avg - b = \frac{\displaystyle \sum_{n \ \leq i \ \leq \ m}a[i]}{m - n + 1} - b = \frac{\displaystyle \sum_{n \ \leq i \ \leq \ m}a[i] - (m - n + 1) * b}{m - n + 1}\)
因为\(m - n + 1 > 0\), 所以\(avg\)与\(b\)的大小关系等价为\(\displaystyle \sum_{n \ \leq i \ \leq \ m}a[i] - (m - n + 1) * b\)与0的大小关系，即每一个a[i]减去b之后的和与0的关系
区间求和如果采用前缀和的方式，问题又可等价为\(s_m - s_{n-1}\)与0的关系，即\(s_m\)与\(s_{n-1}\)的大小关系
应用实例
最佳牛围栏一题中使用该技巧实现了算法的关键优化
\(O(n)\)预处理以2为底的对数
log2[1] = 0; // 循环会将log2[1]计算为1
for (int i = 2; i <= n; ++ i) log2[i] = log2[i >> 1] + 1;
正确性证明:对于log2[x]，x只有两种可能
-
\(x = 2^k\)，此时\(log_2x = log_22^k = log_2(2^{k-1} * 2) = log_22^{k-1} + 1 = log_2(x >> 1) + 1\)
-
\(x = 2^k + c\)，此时\(0 < c < 2^{k}\), \(log_2x = log_2(2^k+c)\)实际结果应该位于\(k\)到\(k+1\)之间，即\(k.xxx\)，因为我们计算对数时实际是对结果下取整，所以\(log_2x = k\)
接下来证明\(log_2\frac{x}{2} + 1= k\)。
\(\frac{2^k}{2} = 2^{k - 1}\)； \(0 < c < 2^{k}\),所以\(0 < \frac{c}{2} < 2^{k-1}\)。
根据\(log_2(2^k+c) = k (0 < c < 2^{k})\)可得，\(log_2(2^{k-1}+d) = k - 1, (0 < d < 2^{k-1})\), 所以\(log_2(\frac{x}{2}) = k-1\), 所以证得\(log_2(\frac{x}{2}) + 1= k\)
综上所述，\(log_2[x] = log_2[x >> 1] + 1\)
质数$约数转换计算方向优化时间复杂度
约数: 轻拍牛头
质数: 阶乘分解
从数据算约数，质因数分解复杂度较高
约数和质因子筛会更快
相同数字组成的数据形式的转化
所谓相同的数字，是指像11111，22222，...这种aaaa...形式的数字
我们以8888为例子，\(8888 = 8 * 1111 = 8 * \frac{9999}{9} = 8 * \frac{10^4 - 1}{9}\)
所以 \(aaaa... = a * \frac{10^x - 1}{9}\)
同时x恰好就是原数据的位数
这个技巧在最幸运的数字一题中出现
mod m的情况下求最小正整数
(x % m + m) % m
应用实例见扩展欧几里得多解时取最小正整数
隔板法
问题类型
\(a_1 + a_2 + a_3 + \ ... \ + a_k = n\)
在\(a_i >= 1\)的情况下询问一共有多少组解(等价于正整数解)。不同顺序并不相同
eg:\(k = 3, n=4\)时，共有3组解
解决方法
10进制转k进制精简写法
for (int i = 0; x; x /= k, ++ i)
s[i] += x % k;
正向求解与反向验证
有些时候，验证问题要比求解问题简单得多
北极通讯网络一题就是这个结论的最好证明
此问题可以简述为：在条件k的约束下，求解d的最优解
正向求解的思路是，构造出最小生成树，使用那k台卫星设备去掉较大的几条边，剩余边中最大的即为答案，但是由点确定边时，选择不同位置的点所确定的边也是不同的，这点是很难确定的
反向求解的思路是，假设已经确定了d的值，在图中那些<=d的边可以存在，反之不能，最终构成了多个连通块，连通块之间的通信则需要使用卫星设备，有几个连通块就需要使用几个卫星设备，通过与k进行比较，即可确定该d值是否合法
在“在条件k的约束下，求解d的最优解”这种题型下，一种解决思路是枚举d值，采用k对d进行评判，从而找到答案。利用k对d进行评判就是验证问题的过程
等式与不等式转化
\(a == b <=> a <= b \ \&\& \ a >= b\)
目前已知的应用场景是差分约束，题目中给定的是等于关系，但要转换为不等关系
最大值和次大值
求一些数据中的最大值和次大值
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a[] = {1, 2, 3, 4};
int max1 = -INF, max2 = -INF; // 依次为最大值，次大值
for (int i = 0; i < 4; ++ i)
{
if (a[i] > max1) max2 = max1, max1 = a[i];
else if (a[i] != max1 && a[i] > max2) max2 = a[i];
}
遍历一维空间同时获取对应二维空间位置
实质上把一维空间当作二维空间进行for循环，同时使用一个单独的下标枚举一维空间
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int nums[81];
for (int i = 0; i < 81; ++i) {
nums[i] = i % 9;
cout << nums[i];
}
for (int i = 0, k = 0; i < 9; ++i) {
for (int j = 0; j < 9; ++j, ++k) cout << nums[k];
cout << endl;
}
return 0;
}
距离计算
在一连续区间中，计算两个元素之间的距离有两种方案：
- 采用计数器
Counter - 通过下标运算
方法1代码实现细节上要明显多于方法2，即更容易出错，至于优点暂时还没遇到
构造10进制回文数
结论：
- 对于\([10^i, 10^{i + 1})\)范围内的每个数(长度为\(i+1\))，将末尾位的其余位取反拼接到原数末尾，可以获得长度为\(2i+1\)的10进制回文数
- 对于\([10^i, 10^{i + 1})\)范围内的每个数(长度为\(i+1\))，将所有位取反拼接到原数末尾，可以获得长度为\(2i+2\)的10进制回文数
代码实现
void get_palindrome_number() {
vector<int> res;
// 每次获取[10^start, 10^start - 1)
for (int start = 1; start <= 10; start *= 10) {
// 除末尾位其余位取反拼接到原数末尾获得长度为2*len(start)+1的回文数
for (int i = start; i <= start * 10 - 1; ++i) {
int num = i;
for (int j = i / 10; j; j /= 10) // 起始先/10将末尾位删除
num = num * 10 + j % 10;
res.push_back(num);
}
// 所有位取反拼接到原数末尾获得长度为2*len(start)+2的回文数
for (int i = start; i <= start * 10 - 1; ++i) {
int num = i;
for (int j = i; j; j /= 10)
num = num * 10 + j % 10;
res.push_back(num);
}
}
for (int num : res)
cout << num << ' ';
cout << endl;
}
枚举给定长度区间
for (int start = 1; start + len - 1 <= n; ++start) { // 枚举起点
int end = start + len - 1; // 计算终点
}
