商务统计学（六）第九章 第一部分 假设检验的基本概念以及两种对均值的假设检验方法

商务统计学（六）第九章 第一部分 假设检验的基本概念以及两种对均值的假设检验方法

 

《商务统计学》第七版

作者：戴维·莱文等，审校：胡大源

“先把书读厚，再把书读薄” --- 华罗庚

 

目录

 

第九章 假设检验基础：单样本检验

在第7章中你学会了如何判定一个样本的均值是否与其来源总体相一致？

而现在你需要处理：怎样利用样本均值来证实一个有关总体均值的判断？

面对这样的问题你需要使用假设检验的推断方法（Look，这就是我喜欢这本书的地方）

9.1 基本假设的检验方法

假设检验

假设检验需要你陈述一个没有歧义的论断，假设检验一般从关于某一总体参数的理论、主张或者断言开始。

零假设

零假设用于表示现状，零假设仍然是关于总体参数的假设。

\[比如自动装盒过程中，若果运行正常，那么平均每盒产品的重都与标注重量相同。即，H_0:\mu=标注值 \]

  • 一个推断是：通过样本数据所观察到的结果，表明零假设为假，如果零假设为假，那么一定有其他假设为真（备择假设为真）

  • 不能被拒绝的零假设并不能证明是真的。

  • （有意思的是）我们永远也不能证明零假设是真的，因为我们的判断仅仅基于样本信息，而不是整个总体信息。（也可以称为“我们无法证明备择假设的正确性”，所以你不能拒绝零假设）

  • 零假设总是对总体参数的某一特定值而言的，而不是关于样本统计量（如样本均值）而言的

备择假设

\[备择假设，H_1是与零假设H_0相对立的。在上述例子中可以表示为H_1:\mu\neq 标注值 \]

在许多研究中，备择假设都不是研究的重点，因为如果从样本中得到的证据足以证明零假设不太为真，那么就可以拒绝零假设，从而得到备择假设所代表的结论。（但如果零假设没有被拒绝，你无法证明某一步出现了问题，那么你可以继续相信未被证实的零假设）

（零假设包含等号而备择假设不包含等号）

检验统计量的临界值

在决策的过程中，如果依靠个人主观判断（比如手样本均值与总体均值）什么样是“很接近”，什么样式“相差很大”，就太随意了。

假设检验论提供了清晰的定义来衡量这些差别，使得量化了决策过程，从而计算出在零假设成立的情况下，得到某一样本值的概率

要做到这一点

  • 首先要确定有关的样本统计量（即样本均值）的抽样分布

  • 然后根据给定的样本值计算出特定的检验统计量

    （由于检验统计量的抽样分布通常服从某些已知的统计分布，比如标准正态分布和t分布，我们可以利用这些分布来确定零假设是否为真）

拒绝域和非拒绝域

我们可以将检验统计量的抽样分布分为两个区域：拒绝域和非拒绝域

  • 如果检验统计量的值落入非拒绝域，那我们就无法拒绝零假设。
  • 同理，如果落入拒绝域，那就可以拒绝零假设。（在零假设为真的落入拒绝域的可能性非常小，在零假设不为真时，落入拒绝域的可能性会增大许多)
  • 临界值的确定决定于拒绝域的大小，而拒绝域的大小又和 根据样本信息来决定总体参数的 风险直接相关

 

根据假设检验方法进行决策的风险

用假设检验进行决策时，存在得出错误结论的风险，分为两类

  1. 第一类错误：错误地拒绝了一个正确的零假设。发生第一类错误的概率用alpha来表示。代表“错误报警”。
  2. 第二类错误：没有拒绝一个错误的零假设。发生第二类错误的概率用beta来表示。代表“坐失良机”。（译者挺有意思）

根据传统

  • 显著性水平

    \[\alpha是人们可以接受的拒绝正确零假设的风险，（这种犯第一类错误的风险或者说概率）被称为统计检验的显著性水平 \]

    由于在进行假设检验之前就要确定显著性水平，因此alpha可以认为加以控制，通常会选择0.01，0.05，0.10作为显著性水平

    非一般情况的显著性水平取决于犯第一类错误的代价

    • 置信系数

      \[与显著性水平\alpha互补的值(1-\alpha)称为置信系数\\ 是当零假设为真（不应被拒绝时）人们不拒绝它的概率 \]

  • beta风险

    \[犯第二类错误的（没有拒绝一个错误的零假设的）概率被称为\beta风险（\beta\ risk） \]

    • 统计检验能力

      统计检验是，当零假设错误应该被拒绝时人们拒绝它的概率。（顾名思义，这是正确的拒绝，这样的概率可以表现该检验假设的能力）

  • 控制和降低犯第二类错误的概率的途径之一就是扩大样本容量。给定显著性水平，扩大样本容量，将使beta值变小，从而增大统计检验能力。

    但是我们拥有的资源是有限的。因此给定样本容量时，我们必须劝权衡两类可能的错误之间的“此消彼长”的关系

    \[\alpha减小，\beta增大；\alpha增大，\beta减小 \]

    由于alpha --- 犯第一类错误的风险可以直接控制，所以一般通过alpha来权衡。至于应该取多大的alpha值最合理，这取决于犯这两类错误的代价：（以麦片装盒为例，每盒麦片的标称值为368g，零假设就为：平均每盒麦片的重量为368g）

    • 如果犯第一类错误的代价很大，我们就可以选择alpha为0.01而不是0.05

      （比如犯了第一类错误，然后所需要调整流水线上装配值的代价很高，就要选择较小的alpha）

    • 如果犯第二类错误的代价很大，我们就可以将alpha增大到0.05甚至是0.10

      （比如犯了第二类错误，但是根据质检标准，实际平均每盒麦片的重量要严格地限定在标称值附近，就要选择较大的alpha）

 

均值的Z检验（标准差已知）

\[Z_{STAT}表示以标准差为单位度量的\bar{X}与\mu之间的差距\\ Z_{STAT}=\frac{\bar{X}-\mu} {\frac{\sigma} {\sqrt{n}}}\\ （公式与均值抽样分布的Z值的相等）\\ 表示以标准差为单位度量的\bar{X}与\mu之间的差距\\ Z_{STAT}的值在假设检验临界值法中被使用 \]

 

假设检验临界值法

在假设检验法中需要将检验统计量（Zstat）与划分拒绝域与非拒绝域的临界值进行比较。

这里的临界值可表示为由显著性水平决定的标准化的Z值。

例如，我们使用0.05的显著水平，由于零假设包含等号而备择假设不包含等号，我们使用双侧检验（暂时不知道包不包含等号与进行双侧检验有什么关系），因此0.05被平分给两个拒绝域，每部分0.025。对正态分布而言，两处临界值的值分别就为-1.96和1.96（因为累积区域大小分别是0.025和0.975，然后对照累计标准正态分布表得出）。因此，决策准则为

\[若Z_{STAT}>+1.96或Z_{STAT}<-1.96，则拒绝H_0\\ 否则，不能拒绝H_0 \]

临界值法进行假设检验的六个步骤

  1. 写出零假设和备择假设
  2. 确定显著水平alpha（根据问题中犯第一类错误和第二类错误的风险的相对重要性来确定），以及样本容量n
  3. 确定要使用的检验统计量，以及抽样分布
  4. 确定划分拒绝域和非拒绝域的临界值
  5. 收集整理样本数据，计算检验统计值
  6. 判定假设能否成立，做出决断（检验统计量落入拒绝域则拒绝假设，落入非拒绝域则不能拒绝假设）

 

假设检验的p值法

p值（p value）是在零假设为真的情况下，使得某一检验统计量等于或大于样本结果的概率。p值经常被称为“观察到的显著水平”。根据p值来确定拒绝域和非拒绝域是假设检验的另一种方法：

\[如果p值大于或等于显著性水平\alpha，则不能拒绝零假设，如果p值小于\alpha，则拒绝假设 \]

例如，我们要检验装盒重量的均值是否等于368g。所得到的Z(stat)=+1.50（就是说总体均值与样本均值的差距为1.50）。使用p值进行双侧检验，我们可以得到一个Z(stat)检验统计量相应的概率 --- Z(stat) < -1.50的概率为0.0668，那么同理，它大于+1.50的概率就为0.0668。因此，这一双侧检验中的p_value=0.0668+0.0668=0.1336（也就是说，检验统计量正处在或比样本观测结果更偏离中心的概率是0.1336），由于0.1336>0.05，因此不能拒绝零假设。

Excel可以计算任何假设检验的p值

p值法进行假设检验的5个步骤

相比假设检验法，不用第四步，重点在于假设准则

 

置信区间估计与假设检验之间的关系

这两者是统计推断的两个重要组成部分，他们基于相同的基本概念，但它们的目的不同

  • 置信区间：用于估计参数
  • 假设检验：用于对特定的总体参数值进行决策，当判断一个参数是否小于、大于或者不等于某一特定值时，使用假设检验

当然，合适的置信区间也可以证明某个参数是否小于、大于或不等于某一特定值。因为，如果假设值落入置信区间，则不能拒绝假设，因为假设值在置信区间内，我们就不能认为假设值是异常的。

 

关于均值Z检验的“已知标准差”

同第八章已知标准差的算法一样，研究已知标准差的检验让驾驶假设检验的基本原理变得简单。有了已知的总体标准差，可以使用正态分布并且计算出p值。对于后面几章，理解假设检验的概念非常重要。

 

9.2 对均值的t检验（标准差未知）

（建议对比“8.2 对总体均值的置信区间的估计 t分布”进行阅读）

总体标准差未知，我们就使用样本标准差。如果假设总体服从正态分布，样本均值将服从自由度为n-1的t分布，这样就可以使用对均值的t检验。（当然，老生常谈，只要样本容量不是特别小，即使总体并非正态分布，但其实依然可以使用t检验）

\[t_{STAT}=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\\ t_{STAT}检验统计量服从自由度为n-1的t分布\\ \bar{X}是样本均值、S是样本标准差、\mu是总体均值，n为样本容量\\ (决策准则与Z检验十分相似，详见案例) \]

乍一看不是对均值的t检验和对均值的Z检验公式一样嘛！于是我找到了如下 资料（来源见拓展）

 

均值t检验和对均值Z检验的相同点

  1. 两者都能够进行均值差异性检验

均值t检验和对均值Z检验的不同点

  1. Z检验要求样本用量足够大（前者很难达到），t检验可以用于n<30的样本，也可以胜任大样本，而且不用知道总体
  2. Z检验要求总体标准差已知（很难达到该要求），t检验可以用样本均值和标准差代替总体均值和标准差
  3. t检验适用范围更广（由于上述两个区别），SPSS里只有t检验，没有z检验模块

注意

  1. 样本容量大于30且样本容量越大时，样本标准差就会与总体标准差越小
  2. 《商务统计学 第七版》指出，如果样本容量小于30，那么就不能轻易做出假设---认为样本的总体近似地服从于正态分布。此时，使用其他的非参数检验方法更为恰当。
  3. 当总体标准差未知且可以通过样本标准差S来估计时，就要使用t检验，但使用t检验，必须建设已有数据所代表的随机样本来自正态总体

 

假设检验举例

（书籍p279）商务目的是判断过去5年内平均每份销售单据的金额是否为120美元（样本容量为12，），也就是说，希望通过假设检验来证明销售单据金额的均值是否有所上升或下降

双侧检验 临界值法 （采用9.1六步法）

  1. \[H_{0}:\mu=120\quad H_{1}:\mu\neq120 \]

  2. \[n=12\quad,\alpha=0.05 \]

    显著性水平采取一般值0.05

  3. \[假设销售单据金额总体近似服从正态分布，使用t分布，并采用t检验 \]

    因为样本容量小所以采用t分布，又因为总体标准差未知所以采用t检验

  4. \[样本容量为12，因此t_{STAT}服从自由度为11的t分布\\ 显著性水平为0.05且此处采用双侧检验，因此一侧的拒绝域面积为0.025\\ 使用11和0.025查询t值表可得，临界值为\pm2.2010 \]

    \[因此决策原则为：\\ 若t_{STAT}<-t_{\frac{\alpha}{2}}=-2.2010\ 或者\ t_{STAT}>t_{\frac{\alpha}{2}}=2.2010，则拒绝H_{0}\\ 若在中间的区间内则不能拒绝H_{0} \]

  5. 随机抽取12个样本并计算样本均值与样本标准差

    \[假设样本中\bar{X}=112.85，S=20.80\\ 代入t检验公式（预期中的总体均值\mu=120）得\\ t_{STAT}=-1.1908 \]

  6. \[由于t_{STAT}统计检验量=-1.1908且落入临界值\pm2.2010的范围内,因此不能拒绝H_{0}\\ 所以结论为“没有足够证据证明销售单据金额的均值已经偏离以往的均值120美元” \]

双侧检验 p值检验法

  1. 同上

  2. 同上

  3. 同上

  4. \[t_{STAT}=-1.1908\\ 由Excel计算得(双侧)p\underline\ value=0.2588 \]

  5. \[因为双侧p值0.2588大于显著性水平0.05，因此，不能拒绝H_{0}\\ 所以结论为“没有足够证据证明销售单据金额的均值已经偏离以往的均值120美元” \]

 

拓展阅读

统计学中Z检验和t检验的区别

如何理解Z检验和T检验？

 

posted on 2020-10-27 17:26  G-Aurora  阅读(57)  评论(0)  编辑  收藏  举报