法雷级数

法雷级数：

   所有分母小于等于n，并且值介于0到1之间的既约分数（分子分母互素）从小到大排列所组成的序列 。

   即 Fn = { a / b, gcd(a,b) = 1 && 0<=a<=b<=n}；

如下：

  F1 = { 0 / 1, 1 / 1 }；
  F2 = { 0 / 1, 1 / 2, 1 / 1 }；
  F3 = { 0 / 1, 1 / 3, 1 / 2, 2 / 3, 1 / 1 }；

那么一般情况下，我们都想要知道，Fn有多少个？

我们知道Fn中，相对于Fn-1，增加的就是以n为分母的元素。那么，增加的个数就是从1-n互素的个数。也就是欧拉函数。

这里我们设F(n)就是Fn的个数，E(n)为欧拉函数的值。那么结论就是：

F(n)=F(n-1)+E(n)；

性质：

      第一，如果a / b, a’ / b’是Fn中相邻的两项，则有abs(a * b’ – b * a’) = 1。

      第二，如果a / b, a’’ / b’’, a’ / b’是Fn中的相邻三项，则有( a + a’ ) / ( b + b’ ) = a’’ / b’’。
                 特别地，如果a’’ / b’’是新添加的，即a’’ / b’’不属于F(n-1)，则有a + a’ = a’’ && b + b’ = b’。

法雷级数推荐题目：poj2478 Farey Sequence
                                poj3090 Visible Lattice Points  
那么，昨天，我们的比赛题目：点击打开链接

题目的意思就是，给一个序列，

f1=1 1.

f2=1 2 1.

f3=1 3 2 3 1.

f4=1 4 3 2 3 4 1.

fn如果相邻的两个数相加为n的话，加入序列。

求解第n个序列的增加了多少个。

可以看到，该序列与法雷级数的分母是一致的。也就是说，每次增加的就是E(n)，欧拉函数的值。
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作者：creat2012  
来源：CSDN  
原文：https://blog.csdn.net/creat2012/article/details/24015907?utm_source=copy  
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