hdu3037 Silver Cow Party (Lucas定理 组合数取模）

题意为：将不超过m个豆子放在n棵不同的树上，一共有多少种方法。

题目相当于求n个数的和不超过m的方案数。

如果和恰好等于m，那么就等价于方程x1+x2+...+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：

(m+1)*(m+2)...(m+n-1)  = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)

现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得

C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)

= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)

= C(n+m,m)

现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。

然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值

 

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=100002;

int T;
ll fact[maxn];
ll n,m,p;

void F(ll p)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++)
        fact[i]=fact[i-1]*i%p;
}

ll qpow_mod(ll a,ll n,ll b)
{
    ll s=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            s=s*a%p;
        a=a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return s;
}

ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(n&&m)
    {
        ll a=n%p;
        ll b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ans=(ans*fact[a]*qpow_mod(fact[b]*fact[a-b]%p,p-2,p))%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m>>p;
        F(p);
        cout<<Lucas(n+m,m,p)<<endl;

    }
    return 0;
}