扩展欧几里得算法
证明过程：https://blog.csdn.net/lincifer/article/details/49391175
代码：
1 long long e_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1;y=0; 6 return a; 7 } 8 else {e_gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);} 9 }
1)扩展欧几里得算法求ax+by=c时
1 bool cal(int a,int b,int c,int &x,int &y) 2 { 3 int d=exgcd(a,b,x,y); 4 if(c%d) 5 return false; 6 int k=c/d; 7 x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 8 return true; 9 }
2）求解模线性方程
ax = b(mod n)
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
1 bool mod_equation(int a,int b,int n) 2 { 3 int x,y,X; 4 int d=e_gcd(a,n,x,y); 5 if(b%d) return false; 6 X=x*(b/d)%n; 7 for(int i=1;i<d;i++) printf("%d\n",(X+i*(n/d))%n); 8 return true; 9 }
部分内容复制来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
