343. 整数拆分

题目

思路描述

1. 问题定义：

   • 给定一个正整数 n，将其拆分为 k 个正整数的和（k >= 2），并使这些整数的乘积最大化。
   • 返回可以获得的最大乘积。

2. 状态定义：

   • dp[i] 表示将数字 i 拆分成若干个正整数的和时，可以获得的最大乘积。

3. 状态转移方程：

   • dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])，其中 j 是从 1 到 i-1 的所有可能值。
   • 这里 j * (i - j) 表示将 i 拆分成 j 和 i - j 两部分的乘积。
   • j * dp[i - j] 表示将 i 拆分成 j 和 dp[i - j] 两部分的乘积。

4. 边界条件：

   • dp[1] = 1，因为 1 只能拆分成 1。

5. 最终结果：

   • dp[n]。

注意事项

1. 边界条件处理：

   • 如果 n 小于等于 1，直接返回 0。

2. 变量初始化：

   • 初始化 dp 数组，dp[1] = 1。

3. 循环控制：

   • 循环从 2 开始到 n，确保覆盖所有可能的数字。

4. 空间优化：

   • 使用一维数组 dp 来存储中间结果，减少空间复杂度。

代码实现

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n <= 1) return 0;

        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }

        return dp[n];
    }
};