哈夫曼树与哈夫曼码

概念：

树的路径长度：一棵树的每一个叶结点到根结点的路径长度的和。

带权二叉树：给树的叶结点赋上某个实数值（称叶结点的权）。

带权路径长度：各叶结点的路径长度与其权值的积的总和。

哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径长度最小的二叉树。

如何构建哈夫树：（思想是：权越大离跟越近）

哈夫曼码：哈夫曼树的非叶结点到左右孩子的路径分别用0，1 表示，从根到叶的路径序列即为哈夫曼码。

哈夫曼码是不会发生译码多义性的不等长编码，广泛应用实际中，哈夫曼编码并不唯一。

（原因是任何一字符的编码不是更长编码的前缀部分，为什么？）

下面演示了用Huffman算法构造一棵Huffman树的过程：

 

每次选两个最小的节点，将他们合并到一个父节点下，父节点的权为他们两个的和

把父节点加入剩下的节点中继续比较，重复上述步骤，直到比较队列中只有一个数。

通常用priority_queue<>

Huffman编码：a:0     b:10   c:110   d:111

带权路径长度：7*1+5*2+3*2+3*4=35    //这个值在所有能生成的树中最小，因为这是Huffman树

等于树的非叶节点的权值和： 6+11+18=35

 

题目：

1063 合并果子（2004noip）

题目描述 Description

   在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

   每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

   因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

   例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。

输入描述 Input Description

 输入包括两行，第一行是一个整数n(1<＝n<=10000)，表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai(1<＝ai<=20000)是第i种果子的数目。

输出描述 Output Description

 输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于2³¹。

样例输入 Sample Input

3 
1 2 9

样例输出 Sample Output

15

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于30％的数据，保证有n<=1000： 
对于50％的数据，保证有n<=5000； 
对于全部的数据，保证有n<=10000。

题目分析：本题考查了哈夫曼树

优先队列,将果子放入优先队列，自动排序，将生成的中间节点也放入，自动排序，每次从队列中选两个最小的数值合并。

代码：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

int n;
int w[100005];
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;
int ans=0;

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i];
        q.push(w[i]);
    }
    while(!q.empty()){
        int a=q.top(); q.pop();
        if(q.empty())break;
        int b=q.top(); q.pop();
        ans+=a+b;
        q.push(a+b);
    }
    cout<<ans<<endl;
}