约瑟夫问题的变种 LA3882

题目大意：

N个数排成一圈，第一次删除m，以后每k个数删除一次，求最后一被删除的数。

 

如果这题用链表或者数组模拟整个过程的话，时间复杂度都将高达O(nk)，而n<=10000,k<=10000 目测会直接TLE。

那么有没有其他的方法呢?答案是有的。

 

我们先忽略掉m, 分析一下每k个数删除一次，那就是经典的约瑟夫问题了。

那么，将每个数（1~n）按顺序编号为0~n-1

设第一个删除的数的编号为x，删除x后，剩下的n-1个数可以组成一个新的约瑟夫环

重新为新的环编号，原先为x+1的现在编号变为0，x+2变为1......

那么在新的环中的一个编号为p的数实际上就是原先环中编号为(p+k)%n的数（画图推算）

设f(i)为共有i个数时(0~i-1的环)最后留下的数是多少

则 f(i)=(f(i-1)+k)%n

相当于把i-1环的编号推算成i环的编号

 

那么这一题第一次是m怎么办呢？

也很简单，我们每次都移动K ，有n个数，那么答案就是ans[n]

但是第一次移动的是m，所以后面的移动都有个恒定的差距（k-m）

所以答案为：(ans[n] – (k – m) +1)% n （注意可能小于0 ，这时候要加上n）

 

#include<iostream>
#define Size 1000005
using namespace std;

int n,m,k;
int f[Size];

int main(){
    cin>>n>>k>>m;
    
    f[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i]=(f[i-1]+k)%i;
    }
    
    int ans=(m-k+1+f[n])%n;
    if(ans<1)ans+=n;
    cout<<ans;
    
    return 0;
}