【USACO 2022FEB P】Sleeping in Class

by AmanoKumiko

Description

最近终于线下授课了，奶牛 Bessie 十分兴奋！不幸的是，Farmer John 是一个非常无聊的讲师，因此她经常课堂上睡觉。

Farmer John 注意到了 Bessie 上课走神。他要求班上的另一个学生 Elsie 跟踪记录给定课上 Bessie 睡觉的次数。一共有 $N$ 堂课，Elsie 记录下了 Bessie 在第 $i$ 堂课睡了 $a_i$ 次。所有课上 Bessie 一共睡觉的次数最多为 $10^{18}$ 。

Elsie 认为自己是 Bessie 的竞争对手，所以她想让 FJ 觉得在每堂课上 Bessie 都一直睡了同样多次——让 FJ 觉得这个问题显然完全是 Bessie 的错，而不是 FJ 有时上课很无聊的问题。

Elsie 修改记录只有以下两种方式：把两堂课的记录合起来，或者把一堂课的记录分成两堂课。例如，如果 $a=[1,2,3,4,5]$ ，那么如果 Elsie 将第二堂和第三堂课的记录合起来，记录就会变为 $[1,5,4,5]$ 。如果 Elsie 继续选择让第三堂课的记录分为两堂，记录就可能变为 $[1,5,0,4,5],[1,5,1,3,5],[1,5,2,2,5],[1,5,3,1,5]$ 或 $[1,5,4,0,5]$ 。

给定 $Q$ 个候选的 Bessie 最不喜欢的数字 $q_1,\ldots,q_Q$ ，对于每个数字，请帮助 Elsie 计算她至少要操作多少次，才能让记录里的所有数字都变成这个数字。

Input

第一行一个整数 $N$ 。

第二行 $N$ 个整数 $a_1,a_2,\ldots, a_N$ 。

第三行一个整数 $Q$ 。

接下来 $Q$ 行，每行一个整数 $q_i$ ，表示 Bessie 最不喜欢的数字。

Output

对于每个 $q_i$ ，计算 Elsie 把记录里的每个数都变成 $q_i$ 所需要的最小操作次数。如果不能把所有数都变成 $q_i$ ，输出 $-1$ 。

Sample Input

6
1 2 3 1 1 4
7
1
2
3
4
5
6
12

Sample Output

Data Constraint

$2\le N\le 10^5,1\le a_i\le 10^{18},1\le Q\le 10^5,1\le q_i\le 10^{18}$

Solution

非常套路。。。

如果一个数大于 $q_i$ ，就分裂，否则加和。容易发现这样最优

然后对 $a$ 做前缀和，记总和为 $S$ ，前缀和序列为 $s$

于是答案就是 $\frac{S}{q}+n-2\sum_{i=1}^n[d|s_i]$

容易发现有 $d|S,d|s_i$ ，于是 $d|gcd(S,s_i)$

可以把每个前缀和先变为 $gcd(S,s_i)$

接下来就是将 $S$ 分解质因数，然后做高维后缀和

时间复杂度 $O(\omega(S)d(S))$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define random(x) rand()%(x)
#define LL long long
#define N 2000010

int p[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};

LL ksc(LL x,LL y,LL z){return (x*y-(LL)((long double)x/z*y)*z+z)%z;}

LL mi(LL x,LL y,LL z){
	if(y==1)return x;
	return y&1?ksc(x,mi(ksc(x,x,z),y/2,z),z):mi(ksc(x,x,z),y/2,z);
}

bool Miller_Rabin(LL x){
	if(x<20){
		F(i,0,7)if(x==p[i])return 1;
		return 0;
	}
	if(!(x&1))return 0;
	LL u=x-1,t=0;
	while(!(u&1))u>>=1,t++;
	F(i,0,7){
		LL v=mi(p[i],u,x);
		if(v==1||v==x-1)continue;
		F(j,1,t-1){
			v=ksc(v,v,x);
			if(v==x-1)break;
		}
		if(v!=x-1)return 0;
	}
	return 1;
}

LL gcd(LL x,LL y){return !y?x:gcd(y,x%y);}

LL fx(LL x,LL y,LL z){return (ksc(x,x,z)+y)%z;}

LL Pollard_Rho(LL x){
	LL c=random(x-1)+1;
	LL s=c,t=fx(c,c,x);
	while(s!=t){
		LL d=gcd(abs(s-t),x);
		if(d>1)return d;
		s=fx(s,c,x);t=fx(fx(t,c,x),c,x);
	}
	return x;
}

vector<LL>s;

LL pr[N];
int c[N],tot;

void Fac(LL x){
	if(x==1)return;
	if(Miller_Rabin(x)){
		F(i,1,tot)if(pr[i]==x){c[i]++;return;}
		pr[++tot]=x;c[tot]=1;
		return;
	}
	if(!(x&1)){
		Fac(2);Fac(x>>1);
		return;
	}
	LL d=x;
	while(d>=x)d=Pollard_Rho(x);
	Fac(d);Fac(x/d);
}

map<LL,LL>num;

LL a[N],sum[N],ans[N];
int n,q;

void dfs(int x,LL y){
	if(x>tot){s.push_back(y);return;}
	LL tmp=1;
	F(i,0,c[x])dfs(x+1,y*tmp),tmp*=pr[x];
}

int main(){
	srand(time(0));
	scanf("%d",&n);
	F(i,1,n)scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	Fac(sum[n]);
	dfs(1,1);
	sort(s.begin(),s.end());
	F(i,0,s.size()-1)num[s[i]]=i;
	F(i,1,n)sum[i]=gcd(sum[i],sum[n]),ans[num[sum[i]]]++;
	F(i,1,tot) Fd(j,s.size()-1,0)if(!(s[j]%pr[i]))ans[num[s[j]/pr[i]]]+=ans[j];
	scanf("%d",&q);
	while(q--){
		LL x;
		scanf("%lld",&x);
		if(sum[n]%x)printf("-1\n");
		else printf("%lld\n",-2*ans[num[x]]+n+sum[n]/x);
	}
	return 0;
}