【ABC242EX】Random Painting

【ABC242EX】Random Painting

by AmanoKumiko

Description

有$n$个位置，$m$个区间

每次会随机选出一个区间，并把区间的位置变成黑色（初始都为白色）

求把所有位置变成黑色的期望次数对$998244353$取模的结果

Input

第一行读入$n,m$

然后$m$行读入区间

Output

一行一个数表示答案

Sample Input

3 3
1 1
1 2
2 3

Sample Output

499122180

Data Constraint

$1\le N,M\le 400$

Solution

第一次用$min-max$反演

令$max$表示期望把整个集合染黑的次数

$min$表示期望第一次染黑集合中任意位置的次数

那么接下来要做的就是设个$dp$

令$f_{i,j}$表示集合最后一次选了位置$i$，和集合有交的区间数为$j$的容斥系数

枚举上一次选的位置和有交区间数，令其为$f_{x,y}$

可以发现，我们的新区间数就是$y$减去$x$和$i$都有交的，加上只和$i$有交的

因为在$i$之前选的和$x$有交的区间也一定会在上面算到

再根据——从$i$个元素中选出$j$个元素中的任意一个元素的期望次数为$\frac{i}{j}$就行了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define mo 998244353
#define N 410

int n,m;
LL f[N][N],a[N][N],b[N],ans;
struct node{int l,r;}p[N];

bool cmp(node x,node y){return x.l<y.l;}

LL mi(LL x,LL y){
	if(y==1)return x;
	return y&1?x*mi(x*x%mo,y/2)%mo:mi(x*x%mo,y/2);
}

int in(int x,int y){return p[y].l<=x&&x<=p[y].r;}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	F(i,1,m)scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].r);
	F(i,1,n) F(j,1,n) F(k,1,m)if(in(i,k)&&in(j,k))a[i][j]++;
	F(i,1,n) F(j,1,m)if(in(i,j))b[i]++;
	f[0][0]=-1;
	F(i,1,n) F(j,0,i-1) F(k,0,m)(f[i][k-a[i][j]+b[i]]+=mo-f[j][k])%=mo;
	F(i,1,n) F(j,0,m)(ans+=f[i][j]*mi(j,mo-2)%mo*m%mo)%=mo;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}