一些计数
一些计数
by AmanoKumiko
组合数消去乘积
\[\sum_{i=0}^n \binom{a}{i}*\binom{b}{n-i}=\binom{a+b}{n}\\
\sum_{i=0}^n\binom{i}{a}*\binom{n-i}{b}=\binom{n+1}{a+b+1}
\]
在平面上从原点走\(N\)步到达\((x,y)\)的方案数
令\(k=\frac{N-x-y}{2}\)
可以发现正方向上走了\(x+y+k\)步
那么答案为
\[\sum_{i=0}^k\binom{N}{x+y+k}\binom{x+y+k}{y+i}\binom{k}{k-i}\\
\binom{N}{x+y+k}\sum_{i=0}^k\binom{x+y+k}{y+i}\binom{k}{k-i}\\
\binom{N}{x+y+k}\binom{N}{y+k}
\]
普通多项式与下降幂多项式的转换
1.系数表式法
\[\sum_{i=0}^na_ix^i=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^ix^{\underline j}S(i,j)\\
\sum_{i=0}^na_ix^i=\sum_{j=0}^nx^{\underline j}\sum_{i=j}^nS(i,j)a_i
\]
2.点值表示法
\[a_i=\sum_{j=0}^nb_ji^{\underline j}\\
a_i=\sum_{j=0}^nb_j\frac{i!}{(i-j)!}\\
\frac{a_i}{i!}=\sum_{j=0}^n\frac{b_j}{(i-j)!}\\
EGF(A)=B*e^x
\]
二项式反演
\(f(n)\)表示钦定\(n\)个，\(g(n)\)表示恰好\(n\)个
\[f(i)=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}g(j)\\
g(i)=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}(-1)^{j-i}f(j)
\]
乘积与卷积
\[2^{i(n-i)}=2^{\binom{n}{2}-\binom{i}{2}-\binom{n-i}{2}}\\
2^{ij}=2^{\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2}}
\]
