【JZOJ7280】序排速快

by AmanoKumiko

Description

定义一次泡冒为：

function bubblesort(A)
	for i = 1 → length(A) − 1 do
		if Ai > Ai+1 then
			swap(Ai,Ai+1)
		end if
	end for
end function

即, 从该数组的第一个位置开始, 设当前进行到的位置为 $i$ , 若 $Ai > Ai+1$ 则交换。定义一次序排速快为：

function quicksort(A)
	if length(A) = 1 then
		return
	end if
	while no partition points exist in A do
		cnt ← cnt + length(A)
		bubblesort(A)
	end while
	divide A at all partition points; do quicksort at each piece
end function

即, 对于当前递归到的区间 $[l, r]$ , 定义一个位置 $i$ 为分割点, 当且仅当 $∀x ∈ [l, i], y ∈ [i + 1, r], Ax < Ay$ 。序排速快的过程是这样的, 对于当前的区间, 若该区间长度为 , 直接返回；否则, 若该区间中存在分割点, 则找出所有分割点, 递归两两相邻分割点中的区间。即, 若当前递归区间为 $[l, r]$ , 分割点为 $p1, p2, · · · , pk, ∀pi ∈ [l, r]$ 则递归 $[l, p1], [p1 + 1, p2], . . . , [pk−1 + 1, pk], [pk + 1, r]$ 。若不存在分割点, 则执行多次泡冒, 每一次泡冒将 $cnt$ 的值加上 $r−l+1$ ,直至出现分割点, 执行递归。给出两个正整数 , 对所有的分别求出所有长度为 $n$ 的排列的值之和对 $998244353$ 取模的结果。

Input

一行两个正整数 $L, R$ ，意义同题目描述

Output

为减少输出量，仅输出一个整数表示所有答案的异或和

Sample Input

2 8

Sample Output

Data Constraint

对于 100% 的数据， $2 ≤ L, R ≤ 10^7$

Solution

（1）发现分割点的条件可以改成，对于 $i$ ， $[1,i]$ 的数都已经在 $i$ 左侧出现

（2）分割点 $i$ 出现时，它左侧和右侧的分割点一定已经出现

（3）一个点的贡献就是它递归的层数

不妨对每个分割点 $i$ 单独算贡献，设分割点 $i$ 出现时间为 $t_i$ ，那么答案为 $\sum_{i=1}^nmax(t_i,t_{i-1})$

由于一次冒泡可以使不在原来位置的点移动一格，设小于等于 $i$ 的最大的数的位置为 $p_i$ ，那么移动次数为 $p_i-i$

所以答案变成 $\sum_{i=1}^nmax(p_{i-1}-i+1,p_i-i)$

分开算贡献：

对于 $t_i>=t_{i-1}$ ， $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nC_{n-i}^{n-j}(n-j)!(j-1)!(j-i)$ ， $i$ 枚举分割点， $j$ 枚举 $p_i$ ，即 $[i+1,n]$ 选出一些放在 $j$ 右边，剩下的放左边，同时 $j$ 两边都是随便排列

对于 $t_{i-1}>t_i$ ，同理得 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nC_{n-j}^{n-i}(n-j)!(j-1)!(j-i+1)(i-1)$ ，由于 $j$ 此时放的是 $[1,i-1]$ 中的数，所以有 $i-1$ 种选择

加起来得到 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nC_{n-j}^{n-i}(j-1)!(n-j)!(ij-i^2+i-1)$

即 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nC_{n-j}^{n-i}(j-1)!(n-j)!(-i^2+i-1)$ 和 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nC_{n-j}^{n-i}(j-1)!(n-j)!ij$

第一个式子变换后得到 $\sum_{i=1}^n(-i^2+i-1)(n-i)!(i-1)!C_{n}^{i}$

即

n! \sum_{i = 1}^{n} \frac{- i^{2} + i + 1}{i}

$n!\sum_{i=1}^n\frac{-i^2+i+1}{i}$

第二个式子变换后得到 $\sum_{i=1}^ni(i!)(n-i)!C_{n+1}^{i+1}$

即

(n + 1)! \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{i + 1}

$(n+1)!\sum_{i=1}^n\frac{i}{i+1}$

前缀和预处理一下随便算

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i,a,b) for(long long i=a;i<=b;i++)
#define LL long long
#define N 10000010
#define mo 998244353

LL sum[N],fac[N],frac[N][2],L,R,inv[N];

int main(){
	freopen("tros.in","r",stdin);
	freopen("tros.out","w",stdout);
	fac[1]=inv[1]=1;
	F(i,1,N-10){
		inv[i+1]=mo-(mo/(i+1))*inv[mo%(i+1)]%mo;
		fac[i+1]=fac[i]*(i+1)%mo;
		frac[i][0]=(frac[i-1][0]+i*inv[i+1]%mo)%mo;
		frac[i][1]=(frac[i-1][1]+(-i*i%mo+i-1+mo)%mo*inv[i]%mo)%mo;
		sum[i]=(fac[i+1]*frac[i][0]%mo+fac[i]*frac[i][1]%mo)%mo^sum[i-1];
	}
	scanf("%lld%lld",&L,&R);
	printf("%lld",sum[R]^sum[L-1]);
	return 0;
}