【USACO 2021JAN P】Sum of Distances

【USACO 2021JAN P】Sum of Distances

by AmanoKumiko

Description

给出\(K\)个图\(G1,G2...Gk\)，可能有自环，但无重边

新建一个图\(G\)，源点为\((1,1...1)\)，对于图\(G\)中的\((x1,x2...xk)\)和\((y1,y2...yk)\)，若\(xi\)和\(yi\)在\(Gi\)中有连边，则它们在\(G\)中有连边

求源点到\(G\)中每个点的最短路之和

Input

第一行\(K\)，图的数量

每个图的第一行包含\(N\)，\(M\)，以下是\(M\)条边

Output

答案，对\(10^9+7\)取模

Sample Input

3

4 4
1 2
2 3
3 1
3 4

6 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6

7 7
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 1

Sample Output

706

Data Constraint

\(∑N<=100000\)，\(∑M<=200000\)，\(∑K<=50000\)

Solution

观察到从源点到某个点一定是，距离短的点先到，然后反复横跳，直到距离大的点到达

因此，只有最短路奇偶性相同的点才和源点连通

同时，\(G\)中某个点的最短路径应该是它所含各点的最短路的最大值

那么对\(K\)个图做\(bfs\)，求出每个点的奇/偶最短路

然后对路径长排序，分奇偶随便维护一下即可

但是对于奇偶最短路同时存在的点，它的贡献可能有不合法的情况

如两个点的最短路：

奇：5 7 偶：4 2

所以将奇偶最短路的最大值排序，按同样的方式算贡献，减去即可

PS：调题时因为模数习惯性写的998244353调了1h///

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define mo 1000000007
#define LL long long
#define K 50010
#define N 300010

vector<int>e[N];
struct node{int pos,val,kind;}p[N];
struct mode{int pos,kind;};
queue<mode>q;
int k,n,m,u,v,dis[N][3],cnt,tot[K][3],in[3],inf;
LL mul[3]={1,1,1},ans;
bool vis[N][3];

void bfs(){
	memset(dis,127,sizeof(dis));
	inf=dis[0][0];
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	q.push((mode){1,0});vis[1][0]=1;dis[1][0]=0;
	while(!q.empty()){
		mode now=q.front();q.pop();
		if(e[now.pos].size()){
			F(j,0,e[now.pos].size()-1){
				int go=e[now.pos][j];
				if(!vis[go][1-now.kind]){
					vis[go][1-now.kind]=1;
					dis[go][1-now.kind]=dis[now.pos][now.kind]+1;
					q.push((mode){go,1-now.kind});
				}
			}
		}
	}
}

bool cmp(node a,node b){return a.val<b.val;}

LL mi(LL x,LL y){
	if(y==1)return x;
	return y%2?x*mi(x*x%mo,y/2)%mo:mi(x*x%mo,y/2);
}

int main(){
	scanf("%d",&k);
	F(i,1,k){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		F(j,1,n)e[j].clear();
		F(j,1,m){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			e[u].push_back(v);
			e[v].push_back(u);
		}
		bfs();
		F(j,1,n){
			if(dis[j][0]<inf)p[++cnt]=(node){i,dis[j][0],0};
			if(dis[j][1]<inf)p[++cnt]=(node){i,dis[j][1],1};
			if(max(dis[j][0],dis[j][1])<inf)p[++cnt]=(node){i,max(dis[j][0],dis[j][1]),2};
		}
	}
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	sort(p+1,p+cnt+1,cmp);
	F(i,1,cnt){
		if(p[i].val==inf)break;
		LL dec=vis[p[i].pos][p[i].kind]?1:0;
		if(in[p[i].kind]-dec>=k-1){
			dec=max(tot[p[i].pos][p[i].kind],1);
			if(p[i].kind<2)(ans+=p[i].val*mul[p[i].kind]%mo*mi(dec,mo-2)%mo)%=mo;
			else ans=(ans-p[i].val*mul[p[i].kind]%mo*mi(dec,mo-2)%mo+mo)%mo;
		}
		if(tot[p[i].pos][p[i].kind])(mul[p[i].kind]*=mi(tot[p[i].pos][p[i].kind],mo-2))%=mo;
		tot[p[i].pos][p[i].kind]++;
		(mul[p[i].kind]*=tot[p[i].pos][p[i].kind])%=mo;
		if(!vis[p[i].pos][p[i].kind])in[p[i].kind]++,vis[p[i].pos][p[i].kind]=1;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}