矩阵快速幂优化dp

written on 2022-08-24

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总结一下该算法适用题目类型以及一般方法。

在碰到需要优化的dp时，这是一种思考方向。在往这方面思考时，要注重观察转移形式是否是基本一致的。

以P3977 棋盘(ZLOJ 练习74 E) 为例，观察到题目给出了相互攻击的位置，同时相互攻击最多涉及相邻行，因此可以想到状压转移，记 $f_{i,s}$ 表示前 $i$ 行，第 $i$ 行放置状态为 $j$ 的方案数，转移显然。该算法的瓶颈在于行 $n$ 的范围较大，导致超时。因此考虑优化转移过程。

这时我们可以观察到，从上一行的状态转移到这一行的状态，方案是固定的。这是两个相邻状态之间的关系，而其不变，因此我们不妨考虑设计一个二维转移矩阵，该矩阵第一维表示上一个状态，第二维表示下一个状态，显然，这个转移矩阵是固定的。于是，根据暴力状压转移方案数的方式，我们可以重定义矩阵的乘法运算。同时我们知道，乘法是满足结合律的，因此后一部分由于乘数完全相同，可以用快速幂在 $\log$ 时间内运算。最终达到了优化的目的。

这就是矩阵快速幂优化dp的本质了，其他优化dp的例题暂无。

然后提一下，矩阵快速幂这个东西，不止用来优化dp，他还有很多用途，比如：

1. 根据标准矩阵乘法的定义构造转移矩阵加速线性递推，如斐波那契数列的递推。

2. 重定义矩阵乘法优化转移过程，比如这道题。

3. 分段矩阵快速幂，这倒是与上面说的矩阵快速幂优化dp类似，关键在于分段。贴一道例题。

这种算法也是人类智慧的结晶啊！！