求解以浮点数为系数的二元一次方程 & 状压 dp
written on 2022-07-27
简单题，然而考场保龄
首先说一下标题的第一个问题，这个问题害的我敲的爆搜代码本该有的 \(65pts\) 一分也没有。
考场上的求解思路是将浮点数转化为整数后，运用加减消元然后解出抛物线系数 \(A,B\)，但是精度误差太大，导致直接保龄！
讲一下正解，观察两个式子：
\[A\times k1+B\times p1=y1
\]
\[A\times k2+B\times p2=y2
\]
我们希望让原式只存在一个未知数，所以呢考虑用减法消去 \(B\)。为一式乘以 \(p2\)，二式乘以 \(p1\)，然后作差便能消去 \(B\)，使原式只含 \(A\)，然后移项然后除一下就能得到 \(A\) 了，然后代入解出 \(B\) 即可。
以上就是求解以浮点数为系数的二元一次方程的一般通用方法，精度误差较小。
然后这题的正解是状压。一般来说，题目的范围要是 \(n\leq 12\)，那么可以考虑直接搜索剪枝，但是 \(n\leq 16/18/20\) 这样的情况就要用状压，这题的状压显然要设 \(f_i\) 表示当前杀死小猪状态为 \(i\) 的最小使用小鸟数，然后枚举接下来一次能杀死的小猪集合。这个集合我们可以预处理，先 \(O(n^2)\) 任意选出两只小猪，求出抛物线，然后判断哪些小猪也在这个抛物线上，这样做到 \(O(n^3)\) 预处理。然后 dp 时 \(O(n^2)\) 枚举集合，总时间复杂度为 \(O(T\times n^2\cdot 2^n)\)。然后优化一下是可以做到 \(O(n)\) 转移的，找到第一个空的位置，然后转移即可。但是强烈建议考场上不要加这个优化，因为不加优化测了大样例，跑的还是挺快的，加了还可能出现一些玄学错误。
