概率与期望の再总结
written on 2022-07-27
之前已经总结过一次了，然而这次模拟赛又没有做出来，所以再总结一下。
以换教室为例题。一般来说，期望只是一个描述问题的手段，主要蕴含于其中的思想实则是动态规划。动态规划首先要设计好状态，这题我们设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示前 \(i\) 节课，申请了 \(j\) 次，第 \(i\) 次选或不选的最小期望消耗体力值。
其实这个状态还是蛮好想的，在众多动态规划题中，这样的状态设计应该说是比较套路了。考试的时候已经想出来了，但是做题时对动态规划有畏惧感，所以设计出了状态就没有接着思考了，以后一定要避免这样的行为！
接着就是转移的问题了。发现 \(i\) 这个位置与 \(i-1\) 选或不选有关，于是分类讨论。下面可能出现的大型分类讨论现场就省略了，这里主要说一说期望的转移形式。
还是那句话，期望是事件的平均情况，意思就是要你计算加权平均。一定要牢牢抓住这个点来理解期望 dp 的转移。
具体到这题，如果不算期望，也就是不带概率的情况，那么转移显然就是从上一个状态加上两点间最短路 \(d_{a_{i-1}\rightarrow a_i}\)，然后去一个最小值即可。那么这里我们要算期望（平均情况），所以对所有情况下的概率乘以长度求和，即是期望了。
