数论杂记

written on 2022-07-20

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Part1

集合的全部子集公式（根据同学的瞎诌名称命名/xyx）

公式：\(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}=2^n\)。

证明：

采用赋值法，根据二项式定理，\((a+b)^n=...\)，然后代入 \(a=1,b=1\)，容易证明结论成立。

组合意义：

考虑一个含有 \(n\) 个元素的子集，那么其子集（包括空集）的个数就是 \(2^n\) 个，对应过来，选取 \(i\in[0,n]\) 个元素合起来的方案数就是公式的左式，即\(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\)。

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Part2

二项式反演

（部分转载自容斥计数入门，如有侵权恳请告知）

\(f_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g_i\Rightarrow g_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f_i\)

\(f_{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g_i\Rightarrow \sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i\)

\(f_{k}=\sum_{i=k}^{n}(-1)^i\binom{i}{k}g_i\Rightarrow g_k= \sum_{i=k}^{n}(-1)^i\binom{i}{k}f_i\)

\(f_{k}=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g_i\Rightarrow g_k=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f_i\)

由于我太菜了所以证明也略去。。

上述的一系列式子均是独立存在的，并不依附于 \(f,g\) 的实际意义，但是一般做到需要用二项式反演的题目时，一般 \(f_i\) 表示钦定（至少）选 \(i\) 个的方案数，\(g_i\) 表示恰好选 \(i\) 个的方案数。然后一般来说根据题意，\(f_i\) 用排列组合的形式求会有额外的一个比较好求的式子，然后套上二项式反演一般即可获得 \(g\) 的答案。

板子题：BZOJ 2839 集合计数

题解可 \(\texttt{bdfs}\)。

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Part3

费马小定理和指数取模技巧之间的联系

这篇博文真的很杂吧

首先给出欧拉定理：

\[x^{\phi(p)}\equiv1\pmod p,\gcd(x,p)=1 \]

证明暂略，以后有兴趣可百度求解。

当然若 \(p\in P\)，对于一般的（这里即指平时做题时不可能会大于等于 \(p\) 的） \(x\)，欧拉定理亦成立。

那么现在假如我们要求 \(x^y\mod p\)，而 \(y\) 较大时，可以将 \(y\mod p-1\)，下面给出不严格证明，意会即可。

\[x^y\equiv{x^{t\cdot \phi(p)+y\mod phi(p)}}\equiv{x^{y\mod p-1}}\pmod p \]

得证。下次看到指数位置的数较大时，记得 \(\mod(p-1)\)。