ZLOJ练习40总结
written on 2022-07-13
写一点随记：
- 对于一张有向图，如何判环？
答：直接跑拓扑排序，将某一点加入队列的条件是这一点的入度为 \(0\)，最后查看是否有点的入度不为 \(0\)。时间复杂度 \(O(n)\)，代码实现也不难。
-
对于树上点权相乘有关的题目，可以考虑特殊情况，因为乘法的速度很快，可以考虑证明只有较小的某些值（如 \(1,2\)）参与了乘法的累计。
-
\(\text{MLE}\) 的另一种可能原因是递归爆栈。
就这三点，然后具体看题目。
第三题太愚蠢，不写了。
第四题题目看错了，不写了。
第五题思路奇特，不写了。
好的先看第五题。
这题考场上的时间不是很够，匆匆敲了个骗分代码就交了。事实上这题的关键在于发现题目的数据范围。发现 \(n\leq 16\)，那么很显然就有爆搜和状压两种思路。
但是没有很明显的思路，于是考虑先模拟一些情况。经过一些操作，我们发现：因为字符串顺序可更改，所以随便画一些点，就能够发现，对于几个字符串，它们构成的最小个数，也就是：
“对于每一个字母在每一个单词中出现的次数的 \(\min\) 加上 每一个字母在每一个单词中出现的次数减去这个 \(\min\)。”
有点绕，可以手动模拟感性理解一下。
然后给出一组样例：
4
abca
abc
ade
adf
然后根据这样的样例，就可以发现这样的思路是错的。
为什么呢？因为合并应当是有序的。也就是说这组样例中的 \(1,2\)/\(3,4\) 两串应当优先合并，因为他们的相同前缀更长。所以在状态转移时，就不是一个一个地加点，而是由子集转移而来！
至此我们已经有了基本的思路，现在的目标与思路就很明确了。原题即转化为将给定的字符串分成若干组，然后合并成新的组，最后求全集。接着就是转移的问题了，对于一个二进制状态，它的重组最长公共前缀是一定的，可以提前预处理好（代码中即为 \(sum\)），那么转移时，为了保证最优，肯定是用原先的两个答案相加，再减去这个前缀，答案可能偏大，因此转移时从每一个子集转移而来，这样就能够保证获得最优解。
代码在链接中。
第四题本来是一道很有价值的贪心转化题，但是题目看错了，导致前面的思考均为废谈，因此在这里就简单地说一下思路。
贪心的思路是很明确的，要考虑的问题就是对于环上的操作，贪心的正确性。一般来说，确定一个起点，在顺序扫描的时候顺便加入所有新的精灵值到 \(\texttt{multiset}\) 中，然后贪心的策略就很明显了。但是为了保证贪心的正确性，要是对于某一个矮人的分析中，选取的精灵是从后面的环绕回来的呢？那就有后效性了，因此本题的关键在于找到无后效性的起点。
就讲这么多，剩下的可以先自己思考一下，推出式子（这也不难），然后就可写了。
第三题可以参考一下其他的题解，剩下的就不再赘述了。
