斜率优化小结

written on 2022-07-08

例题集合

斜率优化 dp 的解题步骤：

1. 写出暴力的dp转移式。

2. 如果发现有与 \(i\) 有关的 和 与 \(j\) 有关的代数式相乘的形式，那么考虑斜率优化。

3. 将原式化为 \(b=kx+y\) 的形式，其中 \(b,k\) 与 \(i\)（即当前研究对象）有关，\(x,y\) 与 \(j\) 有关。

4. 进一步移项，化为 \(y=-kx+b\) 的形式，那么此时该直线经过点 \(x,y\)，为了求 \(b\) 的最大/最小值，维护上凸包或是下凸包，这点根据画图对应，用单调栈维护。注意此时 \(k\) 符号取反。

5. 根据 \(k\) 的正负性以及 \(b\) 应取最大值还是最小值，找出 \(x,y\) 分别的单调性，然后先按 \(x\) 为第一关键字排序，然后排除较劣决策（也就是此时不符合 \(y\) 单调性的那些点）。

6. 根据题目需要，用双指针或是二分找到第一个与询问的斜率为 \(k\) 的直线相切的部分，计算此时截距 \(b\)，即为所求答案。

PS：记得对排序后的 \(x\) 去重。