ZLOJ练习35

written on 2022-07-08

这次比赛打得很差，需要好好总结一下。

\(A\) 题比较灵活。首先肯定是要按照价值，以非递减顺序排序。然后考虑题目的本质。发现事实上排列的大体顺序是一定的，唯一有变化的就是那些价值相同的物品，对于这些物品考虑高度的摆放情况。

一开始的错误思路是直接按高度从大到小排序（价值为第一关键字固定），但是这样的话，考虑一组样例：

1 2 2

6 8 5

1 1 2

2 7 1

模拟完这组样例就能明白了，所以这样的贪心策略是错误的，原因是每一组相同的价值元素个数可能不等。因此，正解采用 multiset 来维护相同的价值，每次用元素少的去匹配元素多的。因为是multiset，支持贪心匹配，也就是二分找到对面恰好大于或小于的元素，然后同时加。这样既保证了解法的正确性，也便于实现。这类题以后应当要有感觉，就是用一些数据结构帮助贪心地选择。

\(B\) 题，2月的时候做过，但是那个时候没有完全掌握这题的精髓所在。这次补题有许多收获，在此之前，先讲讲这题的大致思路与做法：

一开始看到 \(m\) 的数据范围，很明显一眼状压。但是 \(n\) 的范围较大，因此暴力的一个一个箱子进行状压转移只能拿到 \(50pts\)。对这种需要顺序枚举 \(n\) 的做法，显然优化的余地已经很小了，因此我们考虑换一种思考方式。

首先对原题进行转化，即为 选取若干个二进制数，使他们或起来为全集 \(s\)。

进一步对问题进行抽象，设 \(f_i\) 表示 选取若干个数或起来为状态 \(i\) 的方案数，用 dp 的方法进行转移，最后要求解的答案就是 \(f_s\)。如何计算 \(f_i\) 呢？这里就需要用到容斥进行巧妙地转移，我们设 \(g_i\) 表示选取若干个数或起来为状态 \(i\) 的子集的方案数，那么很显然，假如 \(i\) 有 \(cnt_i\) 个子集（这里将 \(0\)（空集） 也视为子集），那么 \(g_i=2^{cnt_i}\)，也就是其中这 \(cnt_i\) 个元素任意选或不选的结果，那么要求解 \(f_i\) 时只要乘以对应的容斥系数即可。特殊地，这题的容斥系数也就是以 “\(i\) 在二进制下与 \(s\) 相差的 \(1\) 的个数”为 \(-1\) 指数的那个数。

\(cnt\) 在读入时初始化，然后子集转移时用高维前缀和（sosdp）即可。

以后看到这类题时，如果是从子集转移的dp，可以考虑先用sosdp，然后按需要使用容斥计算答案。

\(E\) 题也很有价值，现根据指示将此类题套路整理如下：

此类题涉及覆盖操作，我们就可以考虑倒着做，用并查集维护，这样的话每个点最多只会被修改一次，就保证了时间复杂度。

实现很简单，代码可自行查看，细节也不是很多。

\(D\) 题动态规划可拿 \(60 pts\)，但是正解的话，需要关注到 \(n\leq 10\) 的数据范围，因此可以考虑搜索，但是暴力搜索时间复杂度是 \(O(26^n)\)，会超时，而 \(26^5≈1e7\)，因此考虑折半搜索。

这题最难的点其实在于，题目只给了从前往后推的式子，从后往前推的式子需要自己推。首先观察到模数是 \(2^n\) 的形式，那么对于一个正数 \(x\)，模上这样的一个数，在位运算中相当于取二进制中的最后 \(n\) 位，（可以感性理解一下）。正因此，我们可以对 xor 与 mod 运算使用交换律，然后我们来看看它的变化形式：

\(k2=k1\cdot 33\) \(xor\) \(t\) \(\%\) \(mod\)

\(k2=k1\cdot 33\) \(\%\) \(mod\) \(xor\) \(t\)

\(k2\) \(xor\) \(t\) \(=k1\cdot 33\) \(\%\) \(mod\)

\(k2\) \(xor\) \(t\) \(=k1\cdot 33\) \(\%\) \(mod\)

∵ \(k2\lt mod\)

∴ \(k1=\) \(k2\) \(\times inv(33)\) \(xor\) \(t\) （\(\%mod\)）

（超级不严谨的数学表达）

这就是最终变化形式，然后就可以展开折半搜索了。以后碰到此类题，需要观察数据的范围，以及给出条件隐含的内容。