ZLOJ练习23总结
written on 2022-06-24
期望与概率专场，打的很烂，这一专题还需要多加训练！
在分析之前，我想先重新申明一下期望的表示意义：某个量的期望，即等于该事件在平均情况下求得的这个量。 这是所有期望dp的基础，也是转移时，期望要除以方案数的根本原因。
另外，总结一下dp题的几个步骤。
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模拟题意，找出决策点。
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设计状态。
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判断边界。
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写出状态转移方程。
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code
先判断边界！
题意里提到了概率，要求的问题是平均情况下的得分，也就是期望。接着我们来逐步分析一下期望的计算方法。
首先要模拟题意，对于这道题而言，对于一个物品，有三种可能的情况。
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吃这个物品，当然这是在子集均已选过的前提下做出的决策。
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想吃这个物品，但是没法吃。
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直接不吃这个物品。
\(2,3\) 本质上是同一种决策，可以用相同的方法来进行转移。
因为题目要求最优，但是每一次决定决策是否最优是取决与未来的，所以，这里有两种方法，一种是逆推的动态规划，另一种是记忆化搜索，补题时采用的方法是记忆化搜索。当然这题的状态是很显然的，也就是一维记录时间戳，另一维状压记录已选物品。
因为此次的状态取决于未来，所以边界点在最后，那么可以先写出边界：
if(tim>k) return 0;（期望贡献为 \(0\)）
考虑dp的本质，每一次决策，我们都可以假设子问题已经全部获解，那么：
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\(f_{i,j}=\max(f_{i+1,j},f_{i+1,j|(1<<k)}+p_k\)（该物品可选的决策）
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\(f_{i,j}=f_{i+1,j}\)（不能选该物品）
最后，注意期望的计算要除以转移过来的情况数！也就是除以物品个数 \(m\)。当然这个除可以用分配率在转移的时候直接除。
先看 \(C\) 题，题意。
题面很长，分清英雄，三种血量的奴隶主，克苏恩三个角色。
同样的，首先模拟题意。对于一次攻击，有四种决策。
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攻击英雄。
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攻击1血奴隶主。
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攻击2血奴隶主。
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攻击3血奴隶主。
其中，后两种情况可能会使3血奴隶主个数加 \(1\)。
明确了决策，我们就可以设计状态了，这里有两种可以直观想到的状态，一种是记录三种奴隶主的数量（1），攻击次数（2），第3维记录英雄血量，当然这个第三维可以直接当成记录内容然后略去，否则记录的内容应当是这一情况的概率。
补题时选择的是不记第 \(3\) 维。按照一开始提供的dp思路，我们先想一想它的边界。一般来说，要求全局的期望，我们可以先想定最末端，停止时刻期望的贡献，这也就是边界，然后倒推回来。这个思路和 \(A\) 题有异曲同工之妙，同样可以用记忆化搜索，这样更直观。\(Code\)
个人感觉这题事实上是四道题中最难想的，这题的难点主要在于状态的设计。在思考这题时，我们必须跳出定式思维，也就是以绝对位置来分析这种问题。对于这种类似于约瑟夫问题的题目，一般采取的方法是以相对位置为状态进行dp转移。
那么对于这题，很明显的，一次摸牌（杀人环节）对应dp的一个阶段。我们可以设 \(f_{i,j}\) 表示还剩下 \(i\) 个人，从庄家数位置为 \(j\) 的人获胜的概率。如果是这样，那么再确定边界。很明显，有 \(f_{1,1}=1\)。然后考虑决策，有 \(m\) 种牌，对于每种摸牌的情况，我们可以画图来帮助转移，具体可以见这篇题解（感谢@Drinkkk大佬）。同样的，因为是概率的转移，所以相加后还要除以情况数 \(m\)，这样才是对应的概率。
其实题意已经说得很清楚了，要求的是二进制编码的最小期望长度，这就是哈夫曼树的题意嘛！但是还是要注意审题，题目说的是“对 \(n\) 天所有 \(4^n\) 种可能的天气状况进行二进制编码”而不是“对每种天气进行编码”。正因此我比赛的时候没有写这题。
有一种很显然的暴力做法，也就是暴力枚举 \(4^n\) 种可能的天气状况，然后在枚举的同时计算出概率，塞入小根堆中跑哈夫曼树，最短的编码就是所有非叶子结点的概率和。
但是很显然这会超时，因此需要考虑优化。与 \(C\) 题有一些些类似，我们可以将相同的天气状况放到一起考虑。具体地，四重循环枚举每一种天气的数量，用乘法原理计算这种情况的概率，并用排列组合计算出这种情况的个数。最后再将这些情况（以结构体记录）塞入小根堆，然后模拟一下取的过程，就可以求出最小的期望编码长度了。Code（包括暴力与满分做法。）
