P3645 [APIO2015]雅加达的摩天楼 & ZLOJ练习

written on 2022-06-07

这道题暴力能拿90，然而我比较傻只拿了65。

首先总结一下骗分的经验：因为这题刚开始我是用直接暴力加边的形式来搞的，这样的话要么会RE，要么会MLE。所以骗分的经验就是，如果发觉建边时可能爆空间，就可以采用不建边，在跑最短路的同时松弛能到的点这样的方法。

好了以上都是废话

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正解的话，比赛的时候也想到了，这题其实还是蛮显然的。因为 $\mathtt{\text{doge}}$ 是以跳的形式来转移的，因此很容易就能想到根号分治。

• 对于 $p\ge \sqrt{n}$ 的部分，可以直接建边，这部分复杂度为 $O(n\sqrt{n})$。

• 对于 $p<\sqrt{n}$ 的部分，这才是本题的关键。为了解决这一部分，正解是分层图最短路（真的没想到）。

我们考虑以每一种跳跃能力 $p$ 作为一层，在每一层内部加边权为 $1$ 的边，这样的话，这一部分作为预处理的时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$，也就是 $p$ 的数量乘以点数 $n$，满足时间复杂度要求。同时，对于每一层的点（也就是这些虚点），向实际对应的点（也就是实点）连边权为 $0$ 的边，对于这些 $\mathtt{\text{doge}}$，向其对应的虚点连上入边。这样一来就能够保证时间复杂度了！

写完题解发现确实对这题的理解，以及对分层图最短路的理解增进了不少。分层图的相邻层之间连的边是那些免费的边，而这一题中，分层图相邻层之间不连边，只是作为一个预处理的过程来优化建边，也就是说分层图只是一个思想而非一个算法，它的拓展是很广泛的。

这题还需要注意一下细节，为了防止爆空间，我们选择把块长调到 $min(\sqrt{n},100)$。

不知道为什么，这题 $\mathtt{\text{SPFA}}$ 好像会比 $\mathtt{\text{Dijkstra}}$要快，然后的话，$\mathtt{\text{SPFA}}$ 的 $vis$ 数组记得每次出队时要清掉，敲代码的时候竟然忘记了。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10000005
#define M 20000005
using namespace std;
int n,m,d[N];
int st,ed;
int tot,tot2,head[N],ver[M],nxt[M],edge[M];
void add_E(int x,int y,int z){ver[++tot]=y,edge[tot]=z,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot;}
bool vis[N];
int id(int dep,int x){return dep*n+x;}
queue<int> q;
void SPFA()
{
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[st]=0;
	q.push(st);
	while(q.size())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
		{
			int y=ver[i],z=edge[i];
			if(d[y]>d[x]+z)
			{
				d[y]=d[x]+z;
				if(!vis[y]) vis[y]=1,q.push(y);
			}
		}
	}
}
void build(int x)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i+x<=n) add_E(id(x,i),id(x,x+i),1),add_E(id(x,x+i),id(x,i),1);
		add_E(id(x,i),i,0);
	}
}
//id(x,i) refers to the one at i,its ability is x
bool mark[30005];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int B=min(100,(int)sqrt(n));
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		x++;
		if(i==1) st=x;
		else if(i==2) ed=x;
		if(y>=B)
		{
			for(int j=x+y,cnt=1;j<=n;j+=y,cnt++) add_E(x,j,cnt);
			for(int j=x-y,cnt=1;j>=1;j-=y,cnt++) add_E(x,j,cnt);
		}
		else
		{
			add_E(x,id(y,x),0);
			if(!mark[y]) build(y),mark[y]=1;
		}
	}
	SPFA();
	if(d[ed]>=1e9) puts("-1");
	else printf("%d\n",d[ed]);
}