Vjudge 计数dp 总结
written on 2022-03-20
通过这次的计数dp，我学到了许多
计数dp是一个很大的板块，里面的题型很多样，许多题目还要和组合数学结合在一起求解
接下来 是具体题目分析
A题相对来说比较基础了，属于入门dp，预处理出因数，然后进行转移即可。评测机跑得快这样就能直接过
B题概率dp，之前专题放过。用\(f[i][j]\)表示时间与已上来的人数（题目很明确的状态），那么分类转移就可以了，然后注意转移细节，即若已经上了所有人，那只有不上人的情况就不用乘以概率了
C题是dp与组合数学相结合的一道题，观察到总格子数很多，不能经过的却很少，于是将每一个不能经过的作为一个阶段，每个阶段就是原本的方案数 减去 之前不能到的点转移过来的方案数，用组合数算
D题数位dp，刚开始想错了，将09状压，但09有多个所以不行，于是对每一位是否出现进行状压，因为最多18位，于是再数位dp就好了
E题的话。。。太难了，题解也看不懂，斯特林数是啥？贝尔数是啥？以后再看吧
F题是简单的概率dp，理解题意后，用\(f[i]\) 表示前i个人不存在同组的概率，这样转移就好写了
G题，数学期望，数学期望是线性的，于是分别考虑两个人，\(Jeff\) 一次操作可以减少一个逆序对，\(Fruik\) 一次操作可以减少一个或增加一个逆序对，故对于每两次操作，0.5概率减少两个逆序对，0.5概率不变，共可以期望减少一个逆序对，亦即减少一个逆序对期望操作数为2。最后，若逆序对奇数个，那么最后一次直接到达，总次数减一
H题的话相对综合，数位dp预处理出有区间内有k个4和7的数的个数，然后用排列的dfs乱搞。
I题甚是有趣，也用到了组合数学的知识，看了题解之后，深有启发。最初思路是用容斥来写，但是状态数太多显然不行，题解的话倒序枚举了dp数组，这样就可以用减去倍数来保证不重复
J题，矩阵加速递推，这类题写的很少，前一次放专题时在同学的帮助下写好了，以后还要多写来巩固（其实转移也是蛮重要的）
K题题意理解后是一道思维题，看这篇题解吧，其实有点难度的
L题，大受震撼，只用组合数学就能方便的求解，本来还想着怎么记下复杂的状态，结果居然不用dp。以后看到这样难想的dp状态和较大的数据范围还是要留心是不是组合数学
M题的关键在于发现答案的单调性，证明略，然后二分答案进行数位dp就好了
N题的话，刚开始状态设计有误，昏昏沉沉地写了好久没写出来，后来题解告诉我可以转化问题，即前n个数和为k的总方案数，这样就好写了，预处理完就可以O(Tn)回答
O题的状态很难想，可能也是对于树的状态设计的一种新的方法吧，而且边界也极其难设，这种题还是要多看看
P题的状态设计也比较无语，看了题解才知道，\(f[t][i][j]\)表示已处理t行，还剩下i行有一个1没填，j行有两个1没填，这样子的话用 \(O(n^3)\)的时间复杂度进行转移，其中也穿插了一点点组合数学的知识
Q题相对套路了许多，考虑每个数的贡献，然后单对这个数进行讨论，枚举加号的位置，其它加号的可能情况用组合数来算，在解题过程中，发现可以用前缀和优化到能过的时间复杂度，这样就能求解了
配上每题名称（都是CF的）：
A Mashmokh and ACM
B Ilya and Escalator
C Gerald and Giant Chess
D Roman and Numbers
E Symmetric and Transitive
F Basketball Team
G Jeff and Furik
H Little Elephant and Elections
I Winter is here
J PLEASE
K Increase Sequence
L Games with Rectangle
M Random Task
N Cipher
O How many trees?
P Special Matrices
Q Pluses everywhere
