CommonAnts 的调和数

题意

给定 $n$，先进行 $m$ 次操作，每次给定 $p,x$，进行 $\mathrm{\forall }j,jp\le n,s_{jp}\leftarrow s_{jp}+jx$。

然后进行 $q$ 次查询，每次对 $x$ 查询 $\sum _{1\le i,ix\le n}i{s}_{xi}$。

• $n\le {10}^9$
• $m,q\le 2\times {10}^5$
• 保证 $\prod p\prod x$ 的质因子数量不超过 $10$。

解法

记 $X_d$ 为对 $d$ 位置操作的所有权值之和。

那么答案即为 $\sum _{x\mid v}{\displaystyle \frac{v^2}{x}}\sum _{d\mid v}{\displaystyle \frac{X_d}{d}}$。

直接使用狄利克雷前（后）缀和可以做到 $O(n\log \log n)$，获得 65 分。

可以打表发现在这个数据范围下，包含不超过 $10$ 个质因子的集合 $S$ 大小最多在 $2\times {10}^5$ 这个数量级。

所以上式中 $\sum _{d\mid v}{\displaystyle \frac{X_d}{d}}$ 不同的 $v$ 较少。

可以枚举 $S$ 中的 $v$，然后乘上系数 $\sum _{iv\le n}[gcd(i,L)]i^2$ 其中 $L$ 是这不超过 $10$ 个质因子的乘积。

反演之后可以计算系数，有用的点值只有整除分块的位置，所以不超过 $O(\sqrt{n})$，但是对 $S$ 中的元素打表可知最多点值只有 ${10}^4$ 多一点个。

计算答案时的可以以不超过 $10$ 个质因子为阶段 dp。（类似狄利克雷前（后）缀和）

复杂度 $O(\sqrt{n}{2}^{10}+|S|\cdot 10)$。

代码

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