洛谷 P10254 口吃

传送门

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求恰有 $k$ 个逆序对的 $n$ 的排列的权值和。权值为 $\sum _{i=1}^n{p}_{i}i$。

• $n\le 300$
• $k\le {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}$

solution

很重要的一个拆贡献的想法是：一个数 $p_i$ 的系数 $i$ 拆成下标从 $1$ 到 $i$ 的数中 $p_j\ge p_i$ 和 $p_j<p_i$ 的两部分。两部分的权值和明显是可以直接相加得到答案的。

考虑 dp 第一部分的贡献。按照值域从大往小把 $n$ 到 $1$ 插入排列，枚举插入位置即可算出逆序对和权值和的增加量。

具体地，设 $f_{i,j}$ 表示把 $n$ 到 $n-i+1$ 这 $i$ 个数插入排列，得到 $j$ 和逆序对的方案数， $g_{i,j}$ 表示权值和。

有转移：

• $f_{i,j}=\sum _{p=0}^{i-1}{f}_{i-1,j-p}$
• $g_{i,j}=\sum _{p=0}^{i-1}{g}_{i-1,j-p}+f_{i-1,j-p}\ast (n-i+1)\ast (p+1)$

第二部分贡献同理。

这样就可以时间复杂度 $O(n^{2}k)$ 做了。过不去。

整理一下式子可以发现可以前缀和掉一部分转移。

还有形如 $\sum f_{i-1,j-p}\cdot p$ 的部分， 这个可以记后缀和数组 $s_i=\sum _{p=i}^k{f}_{i-1,i}\cdot (k-i+1)$，结合上面的前缀和就可以 $O(1)$ 转移了。

时间复杂度 $O(nk)$。

hint

两部分贡献的 dp 只有 $g$ 数组转移的一个系数不一样，可以直接把系数加起来合并。

需要滚动数组。

code

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using E=long long;
constexpr E mod=998244353;
 
int main(){
 
#ifdef zzafanti
  freopen("in.in","r",stdin);
#endif // zzafanti
 
  cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
 
  int n,k;
  cin>>n>>k;
 
  E ans=0;
  vector<vector<E>> f(2,vector<E>(k+1)),g(2,vector<E>(k+1)),sg(2,vector<E>(k+1)),sf(2,vector<E>(k+1));
  vector<E> trans(k+1);
  f[0][0]=1,g[0][0]=0;
  for(int j=0; j<=k; j++){
    sf[0][j]=1;
  }
  for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=k; ~j; j--){
      trans[j]=(j==k?0:trans[j+1]);
      trans[j]=(trans[j]+f[i-1&1][j]*(k-j+1))%mod;
    }
    for(int j=0; j<=k; j++){
      f[i&1][j]=sf[i-1&1][j];
      if(j-i>=0) f[i&1][j]-=sf[i-1&1][j-i];
      E coef=n+i*i-2*i+1;
      g[i&1][j]=sg[i-1&1][j]+coef*sf[i-1&1][j]%mod;
      if(j-i>=0) g[i&1][j]-=sg[i-1&1][j-i]+coef*sf[i-1&1][j-i];
      coef=n-2*i+1;
      E dlt=(j-i+1>=0?trans[j-i+1]:trans[0])-(j<k?trans[j+1]:0)-(k-j)*1ll*(sf[i-1&1][j]-(j-i>=0?sf[i-1&1][j-i]:0));
      dlt%=mod;
      g[i&1][j]=(g[i&1][j]+coef*dlt)%mod;
      sf[i&1][j]=((j==0?0:sf[i&1][j-1])+f[i&1][j])%mod;
      sg[i&1][j]=((j==0?0:sg[i&1][j-1])+g[i&1][j])%mod;
    }
  }
 
  //cout<<(f[n&1][k]%mod+mod)%mod<<endl;
  cout<<(g[n&1][k]%mod+mod)%mod<<endl;
 
  return 0;
}