洛谷 『STA - R4』保险丝

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传送门

description

给定一棵大小为 $n$ 的树。

一个点 $x$ 的权值 $f(x)$ 定义为 $\sum _{u\in \text{subtree}(x),P(x,u)}\prod _{v\in \text{subtree(u)},P(x,v)}fi{b}_{{\text{dgr}}_v}$。其中 $P(x,u)$ 表示根节点到 $v$ 路径上所有点至叶子结点的最短距离的最小值大于等于 $x$ 到 $v$ 的距离，${\text{dgr}}_x$ 表示 $x$ 的度数，$fi{b}_i$ 表示斐波那契数列第 $i$ 项。

对所有 $1\le x\le n$，求出 $f(x)$。对合数取模。

• $n\le {10}^6$

solution

观察到 $x$ 子树内一个点 $u$ 是否满足 $P(x,u)$ 在 $x$ 到 $u$ 的链上是单调的。也就是说，如果 $P(x,u)$ 不成立，那么 $u$ 子树内所有点 $v$ 的 $P(x,v)$ 一定也不成立；如果 $P(x,u)$ 成立，那么 $x$ 到 $u$ 链上每个点 $v$ 都满足 $P(x,v)$。

定义每个点 $x$ 的 $le{n}_x$ 为根到 $x$ 路径上所有点到叶子结点的最短距离的最小值，容易通过 dfs 线性求出所有 $le{n}_x$。

然后以每个点为根统计这个点的 $f(x)$：搜索 $x$ 的子树，如果 $dis(x,u)>le{n}_u$ 就不继续往下搜，容易 dp 出来每个点 $u$ 的 $\prod _{v\in \text{subtree}(u),P(x,v)}fi{b}_{{\text{dgr}}_v}$，加起来就是 $f(x)$。

这样我们获得了一个 $O(n^2)$ 的做法。

如果我们代码实现时每次搜索的复杂度只和搜到的点数有关的话，交上去会发现能过 subtask 3，也就是非叶子节点的度数至少为 2。

仔细想一下可以发现，此时 $le{n}_x$ 是不超过 $O(\log n)$ 的，因为如果 $le{n}_x$ 要取到 $k$，就必须有子树前 $k-1$ 层是满的，而且至少二叉，就要用掉至少 $2^{k-1}$ 个点。

这时我们搜索 $x$ 就相当于搜索一个满的 $le{n}_x-1$ 层的至少二叉的树。容易发现满二叉树是最劣情况，搜索的复杂度不超过 $O(\sum _{k\ge 1}{\displaystyle \frac{n}{2^k}}{2}^{\frac{k}{2}})=O(n)$。

又因为 $fi{b}_2=1$，这启发我们把度数为 2 的非叶子节点缩掉（也就是把链缩掉），把限制转化成 subtask 3。

令根节点、度数大于 2 的点和叶子结点为关键点。关键点之间一定是直链相连，可以对每个关键点记录它上面的直链的信息，对每个直链记录它的父亲和向下第一个关键点，并且对关键点建树。

统计 $f(x)$ 时，如果 $x$ 时关键点，可以直接搜索 $x$ 的子树，直链的贡献是平凡的，到搜索末端可以用二分算直链上的贡献；如果 $x$ 不是关键点，就找到它所在直链下方第一个关键点 $p$，搜索 $p$ 的子树，计算贡献也很平凡。

可以发现，这么做的复杂度是 $O(\sum |K(x)|)$ 的，$|K(x)|$ 表示满足在 $x$ 子树内且满足 $P(x,u)$ 的关键点 $u$ 的数量。

下面证明 $O(\sum |K(x)|)\le O(n)$。

考虑 $u$ 的贡献，它能贡献到的 $x$ 一定是往上连续的一段祖先，而且这个贡献范围的大小不超过 $u$ 子树内最近的叶子到 $u$ 的距离。下面证明对于所有关键点，其到其子树内最近叶子的距离之和不超过 $O(n)$。

按深度从大往小考虑，一个关键点 $u_i$ 一定能对应上一个叶子 $l_i$，使得 $\mathrm{\forall }i,j$ 路径 $(u_i,l_i)$ 和 $(u_j,l_j)$ 不交。而要证明的距离之和是不超过 $\sum dis(u_i,l_i)$ 的，$\sum dis(u_i,l_i)$ 又是不超过 $O(n)$ 的，所以对于所有关键点，其到其子树内最近叶子的距离之和不超过 $O(n)$。

这样就做完了这个题。

带上二分时间复杂度 $O(n\log n)$，二分的常数很小。空间复杂度 $O(n)$。

应该可以使用双指针精细实现把时间复杂度降到 $O(n)$，但估计比较麻烦。

code

这是我场上实现的二分的代码的核心部分。时间复杂度 $O(n\log n)$，可以被链卡到上界。添加了几个注释。

using E=long long;
int n;
vector<int> fa,len,sz,dgr,par,nxt,pos;
vector<vector<int>> ver,Ver;
vector<vector<int>> pt;
 
void dfs1(int u){
  sz[u]=1;
  for(auto p:ver[u]){
    dfs1(p);
    len[u]=min(len[u],len[p]+1);
    sz[u]+=sz[p];
  }
  if(sz[u]==1) len[u]=0;
}
 
void dfs2(int u,int minx=len[1]){
  minx=min(minx,len[u]);
  len[u]=minx;
  for(auto p:ver[u]){
    dfs2(p,minx);
  }
}
 
vector<int> now;
void dfs4(int u,int Fa=1){
  if(u==1||dgr[u]>2||sz[u]==1){
    if(u!=1){
      Ver[Fa].emplace_back(u);
    }
    pt[u]=now;
    for(int i=0; i<(int)now.size(); i++){ // 把 u 上方链中的节点放到 pt[u] 里
      int p=now[i];
      nxt[p]=u,par[p]=Fa,pos[p]=i; // 并记录每个链上的点（即非关键点）对应的向下和向上第一个关键点
    }
    Fa=u;
    now.clear();
  }else{
    now.emplace_back(u);
  }
  for(auto p:ver[u]){
    dfs4(p,Fa);
  }
}
 
vector<E> dp;
E sum;
void dfs3(int u,int dis=0){
  dp[u]=fib[dgr[u]];
  for(auto p:Ver[u]){
    if(dis+pt[p].size()+1<=len[p]){
      dfs3(p,dis+pt[p].size()+1);
      dp[u]=dp[u]*dp[p]%mod;
      sum=(sum+dp[p]*pt[p].size())%mod;
      dp[p]=1;
    }else{ // 二分计算搜索的边界在哪里
      int l=-1,r=(int)pt[p].size()-1;
      while(l<r){
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(dis+mid+1<=len[pt[p][mid]]) l=mid;
        else r=mid-1;
      }
      sum=(sum+l+1)%mod;
    }
  }
  sum=(sum+dp[u])%mod;
}
 
void dfs5(int u,int dis=0){ // 这个 dfs 用于暴力，AC 100% 的数据没有使用
  dp[u]=fib[dgr[u]];
  for(auto p:ver[u]){
    if(dis+1>len[p]) continue;
    dfs5(p,dis+1);
    dp[u]=dp[u]*dp[p]%mod;
    dp[p]=1;
  }
  sum=sum+dp[u];
  sum%=mod;
}
 
int main(){
  cin>>n;
  fib.resize(n+1); dgr.resize(n+1); ver.resize(n+1);
  ifib.resize(n+1); fa.resize(n+1); len=vector<int>(n+1,n+1); sz.resize(n+1);
  for(int i=2; i<=n; i++){
    cin>>fa[i];
    dgr[i]++;
    dgr[fa[i]]++,ver[fa[i]].emplace_back(i);
  }
 
  fib[1]=fib[2]=1;
  for(int i=3; i<=n; i++){
    fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    fib[i]%=mod;
  }
 
  dfs1(1);
  dfs2(1);
 
  Ver.resize(n+1);
  pt=Ver;
  nxt=par=pos=vector<int>(n+1);
  dfs4(1);
 
  E ans=0; dp=vector<E>(n+1,1);
  for(int i=1; i<=n; i++){
    if(sz[i]==1){ // 把叶子直接判了
      ans^=1;
      continue;
    }
    sum=0;
    if(i==1||dgr[i]>2){
      dfs3(i,0);
      dp[i]=1;
    }else{
      if(len[nxt[i]]<pt[nxt[i]].size()-pos[i]){
        int l=pos[i],r=(int)pt[nxt[i]].size()-1;
        while(l<r){
          int mid=(l+r+1)>>1;
          if(mid-pos[i]<=len[pt[nxt[i]][mid]]) l=mid;
          else r=mid-1;
        }
        sum=(sum+l-pos[i]+1)%mod;
      }else{
      	dfs3(nxt[i],pt[nxt[i]].size()-pos[i]);
      	sum=(sum+(pt[nxt[i]].size()-pos[i])*1ll*dp[nxt[i]]%mod)%mod;
      	dp[nxt[i]]=1;
      }
    }
    //cerr<<i<<' '<<sum<<endl;
    sum=(sum%mod+mod)%mod;
    ans^=sum;
  }
 
  cout<<ans<<endl;
 
  return 0;
}