P4948 数列求和

传送门

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给定 $n,a,k$，求 $\sum _{i=1}^n{a}^i{i}^k$

• $n\le {10}^{18}$

• $k\le 2\cdot {10}^3$

solution

$k$ 很小，使用第二类斯特林数处理 $i^k$ 得：

• $\sum _{i=1}^n{a}^i\sum _{j=0}\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}j!$

调换求和顺序得：

• $\sum _{j=0}^{min(n,k)}j!\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}\sum _{i=min(1,j)}^n{a}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}$

左边的可以枚举，主要考虑如何计算右边。把 $k=0$ 特判掉，答案变成 $i$ 取下界 $j$ 的答案再 $-1$。

记 $f_{j,n}=\sum _{i=j}^n{a}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}$。

根据组合数递推式，有：

• $f_{j,n}=\sum _{i=j}^n{a}^i({\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j})}+{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j-1})})=\sum _{i=j}^n{a}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j})}+\sum _{i=j}^n{a}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j-1})}=a{f}_{j,n-1}+a{f}_{j-1,n-1}$

设 $F_n(x)$ 是 $\{f_{j,n}{\}}_{j=0}^{+\mathrm{\infty }}$ 的生成函数，则有 $F_n(x)=a(x+1)F_{n-1}(x)+1$。（注意最后这个 $+1$，是常数项需要特殊处理的，可以把 $f_{i,j}$ 打表出来就会发现这一点）

于是可以多项式矩阵快速幂求出 $F_n(x)(\mathrm{mod}{x}^{k+1})$ 了。问题是模数是 1e9+7，$O(k\log k\log n)$ 在矩阵和任意模数的巨大常数下会很慢，而且代码太复杂。

解决办法是用朴素的多项式乘法代替 NTT，虽然时间复杂度变为 $O(k^2\log n)$，但是常数小了，也好写。

开 O2 勉强卡过去。

提交记录

当然，也可以对生成函数进行进一步推导，发现需要多项式快速幂 + 多项式求逆。朴素做多项式乘法的话求逆和 $\ln \exp$ 都是 $O(k^2)$ 的，所以可以做到 $O(k^2)$ 的时间复杂度。

_ANIG_ 实现的一份代码的提交记录