CF1495F

传送门

decription

给定 $n$ 和长度为 $n$ 的排列 $p$。在一个位置 $i$ 可以采取如下行动：

• 花费 $a_i$ 走到 $i+1$。

• 如果 $p_i$ 后存在一个 $p_j>p_i$，则可以花费 $b_i$ 跳到 $j$，否则可以花费 $b_i$ 跳到 $n+1$。

希望最小化从 $1$ 到 $n+1$ 的花费。此外还有限制：有必经点集合 $S$，必须经过 $S$ 内每一个点。

$m$ 次询问，每次询问的 $S$ 都是上一次询问的 $S$ 加上或删除一个元素。每次询问输出最小花费。

• $n,m\le 2\times {10}^5$

• $-{10}^9\le a_i,b_i\le {10}^9$

solution

设 $S$ 集合是有序的且 $S_0=1,S_{|S|+1}=n+1$。

第一步转化是求 $1$ 到 $n+1$ 的最小花费转化成求 $S_i$ 到 $S_{i+1}(0\le i\le |S|)$ 的花费和的最小值。每一部分是独立的，所以要求每一段的花费的最小值。

每次给集合 $S$ 加点删点相当于加上或删除共三段的贡献。计算答案的差分数组就可以了（也就是三段最小花费带来的答案变化量）。

问题就变成了有 $O(m)$ 次询问 $[l,r]$，求 $l$ 到 $r$ 的最小花费。

关键的一步是考虑把所有询问离线下来，右端点递增排序。

我们只需要顺次维护 $1,2,3,\dots n+1$ 位置为终点时它前面的点到它的最小花费。

考虑这个图的性质：设 $nx{t}_i$ 表示第 $i$ 个位置下一个比它大的位置（不存在则为 $n+1$），那么对于 $i<j,p_i>p_j$，一定有 $nx{t}_j\le nx{t}_i$。

这说明右端点为 $r$ 的时候直接加边不会对之前加的边减小的花费造成影响。

直接树状数组维护就行了。

时间复杂度 $O((n+m)\log n)$

code

Submission #231468601 - Codeforces