P9836 种树

传送门

solution

首先要知道对于一个整数 $a=p_{{\alpha }_1}^{{\beta }_1}{p}_{{\alpha }_2}^{{\beta }_2}\dots p_{{\alpha }_k}^{{\beta }_k}$，它的因数个数是 $\prod _{i=1}^k({\beta }_i+1)$。这一点可以通过组合意义证明。

又由于题目要求的是所有数上式的乘积，于是我们可以对值域内每个质数 $p$ 考虑贡献。

如果数 $a$ 所含的 $p$ 的最高次幂的因子是 $p^x$，那么如果再给 $a$ 乘上一个 $p$，答案就变为原来的 ${\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}$ 倍。显然 $x$ 越小这个数越大，所以我们每次贪心地把 $p$ 乘给 $x$ 最小的数 $a$，直接用小根堆动态维护所有 $x$ 即可。

设值域为 $W$，则时间复杂度为 $O({\displaystyle \frac{W}{\ln W}}\times n\log n)\approx O(nW)$，可以通过。

code

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
using E=long long;
constexpr E mod=998244353;
 
int main(){
 
  int n,w,W=0;
  cin>>n>>w; W=max(W,w);
  vector<int> p(n+1);
  for(int i=1; i<=n; i++) cin>>p[i],W=max(W,p[i]);
  E ans=1;
  vector<bool> st(W+1);
  for(int i=2; i<=W; i++){
    if(st[i]) continue;
    for(int j=i*2; j<=W; j+=i) st[j]=1;
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> pq;
    for(int j=1; j<=n; j++){
      int s=0;
      while(p[j]%i==0) s++,p[j]/=i;
      pq.push(s);
    }
    int cnt=0;
    while(w%i==0) cnt++,w/=i;
    while(cnt){
      assert(pq.size());
      int u=pq.top();
      pq.pop();
      pq.push(u+1);
      cnt--;
    }
    while(pq.size()){
      ans=ans*(pq.top()+1)%mod;
      pq.pop();
    }
  }
 
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}