CF1821F

传送门

solution

对于一个确定的树木种植位置方案 $\{x\}$，我们规定树木优先向左侧倒下。

枚举有 $p$ 个树木向右倒，然后我们要求每个向右倒的树木左侧不能有连续 $k$ 个空格。设 $f_i$ 表示有 $p$ 个树木向左倒，恰好有 $i$ 个能向左倒的树木强制向右倒，则我们需要的就是 $f_0$。设 $g_i$ 表示钦定 $i$ 个树木能向左倒但强制向右倒，由二项式反演，$f_0=\sum _{i=0}^m(-1{)}^i{g}_i$。

答案就是 $\sum _{p=0}^m{f}_0$。

考虑计算 $g_i$。

$i$ 个能向左倒但是强制向右倒的要占 $i$ 个长度为 $2k+1$ 的段，剩下 $m-i$ 个树木每个要占 $k+1$ 个位置，和剩下的空位置插板可以得出放这些段的方案数，再乘上个组合数给每个段分配实际是向左倒还是向右倒即可。

式子是 $\sum _{p=0}^m\sum _{i=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i(2k+1)-(m-i)(k+1)+m}{m})}(-1{)}^i$。

稍微推一下，答案就是 $\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i(2k+1)-(m-i)(k+1)+m}{m})}(-1{)}^i{2}^{m-i}$。

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Submission #230981610 - Codeforces