CF1842H

传送门

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见洛谷翻译

solution

考虑分析一下不等式 $x_i+x_j\le 1$。

• 如果 $x_i,x_j\le 0.5$，一定成立；

• 如果 $x_i,x_j>0.5$，一定不成立；

• 如果 $x_i,x_j$ 中一个 $>0.5$，一个 $\le 0.5$，不妨设 $x_i\le 0.5$，则要求 $0.5-x_i\ge x_j-0.5$。

可以发现，前两种情况比较简单，后一种情况和 $x_i$ 与 0.5 差的绝对值有关，于是我们不妨把所有数向左平移 0.5，看起来更舒服。原要求变成 $x_i+x_j\le 0$。

一个不难想的做法是枚举有哪些数是 $\le 0$ 的，这样就可以把所有不等式转化为 $|x_i|\le |x_j|$ 的形式。所有合法的绝对值的大小排列除以 $2^{n}n!$ 就是这种情况对答案贡献的概率（因为每种 $n$ 个数的大小关系是随机的，规定一个数正负号的概率是 $\frac{1}{2}$）。但是后面这个部分相当于求一张图的拓扑序数量，没有多项式复杂度的做法，加上前面 $2^n$ 枚举，复杂度式不能接受的。

我们尝试不去枚举哪些数是 $\le 0$ 的。设 $f_{mask}$ 表示选出点集为 $mask$ 的合法的绝对值大小关系排列的数量。根据上面的推导，最后乘上系数 ${\displaystyle \frac{1}{2^{n}n!}}$ 就是答案。

我们枚举 $mask$ 中绝对值最大的数 $x_i$，如果它能够作为负数存在于排列中，要求不存在有限制 $x_i+x_j\ge 0$ 的 $x_j$ 在排列中；作为非负数同理。

对于 $x_i+x_i\le 0$ 这类的限制，还要求 $x_i\le 0$，需要特别注意一下。

细节见代码。

code

Submission #230485940 - Codeforces