P4260 博弈论与概率统计

description

$T$ 次询问，每次给定 $n, m, p$ ，总共 $n + m$ 局游戏，每局 A 有 $p$ 的概率获胜。一局游戏获胜 A 的得分加 1，否则减 1，但是如果 A 在得分为 0 的情况下输了一局，得分不变。求 A 赢 $n$ 局，输 $m$ 局后游戏结束时 A 的得分的数学期望。

$n, m, T \leq 2.5 \times 10^{5}$

solution

首先发现 $p$ 是诈骗的，由于 $n, m$ 是已知的，一个的游戏方案的概率就是 $\frac{n! m!}{(n + m)!}$ ，只需要算出所有游戏方案的最终得分和即可。

根据游戏规则，如果 A 在得分为 0 的情况下输，得分不变，我们称一局这样的情况为免疫。

如果整场游戏中 A 免疫了 $k$ 次（显然 $k \leq m$ ），那么 A 的最终得分就是 $n - m + k$ 。于是我们可以对于每种免疫次数计算方案数。

先来考虑免疫 0 次的方案数计算。

把游戏过程当做 01 序列，0 表示 A 获胜，1 表示 A 输。则要求任意前缀中 1 的个数要小于等于 0 的个数。

先来算不合法的方案，构造双射：设序列前 $i$ 个数中 0 的数量为 $f_{i}$ ，1 的数量为 $g_{i}$ ，找到第一个 $f_{i} < g_{i}$ 的位置，则一定有 $f_{i} = g_{i} - 1$ ，再将该位置（不包含）后面的所有 01 取反，得到一个含 $m - 1$ 个 0， $n + 1$ 个 1 的序列；反过来，任意一个含 $m - 1$ 个 0， $n + 1$ 个 1 的序列也对应一个不合法的序列。所以不合法的序列的方案数就是 $(\binom{n + m}{n + 1})$ 。合法的序列方案数就是 $(\binom{n + m}{n}) - (\binom{n + m}{n + 1})$ 。

同理，考虑免疫 $k$ 次的方案数。依然是用 01 序列考虑，那么方案数是否就是任意前缀中 1 的个数都要小于等于 $k$ 加 0 的个数的方案数呢？需要注意，我们应该求恰好免疫 $k$ 次的方案数，而这样算出的是至多免疫 $k$ 次的方案数，还要减去至多免疫 $k - 1$ 次的方案数，为 $(\binom{n + m}{n + k}) - (\binom{n + m}{n + k + 1})$ 。

需要注意 $n + k < m$ 时方案数是 0，按照上面的方式构造是有问题的，所以 $k$ 至少为 $max (0, m - n)$ 。

综上，得分和就是 $\sum_{k = max (0, m - n)}^{m} (n - m + k) \times ((\binom{n + m}{n + k}) - (\binom{n + m}{n + k + 1}))$ 。

开始推式子。

前面的系数里的 $n - m$ 是常数，提出来。

变成计算 $\sum_{k = max (0, m - n)}^{m} (\binom{n + m}{n + k}) - (\binom{n + m}{n + k + 1})$ 和 $\sum_{k = max (0, m - n)}^{m} k \times ((\binom{n + m}{n + k}) - (\binom{n + m}{n + k + 1}))$ 。前者就等于 $(\binom{n + m}{n + max (0, m - n)})$ ，可直接计算；后者等于 $max (0, m - n) \times (\binom{n + m}{n + max (0, m - n)}) + \sum_{k = n + max (0, m - n) + 1}^{n + m} (\binom{n + m}{k})$ 。右边这个就是 $2^{n + m} - \sum_{k = 0}^{n + max (0, m - n)} (\binom{n + m}{k})$ 。