CF1437F

好神奇的 dp 题。

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给定数组 $a$ ，求其有多少个排列满足

$y_{i} = max (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i - 1})$
$\forall i \in [1, n] \cap Z, 2 a_{i} \leq y_{i} OR 2 y_{i} \leq a_{i}$

以下标区分排列。

solution

我们称一个排列中所有满足 $2 y_{i} \leq a_{i}$ 的 $i$ 为关键点。

将 $a$ 数组排序，记 $s_{i}$ 表示 $a$ 数组中 $\leq ⌊ \frac{a_{i}}{2} ⌋$ 的数的个数加 1。

设 $f_{i}$ 表示考虑前 $i$ 个数，第 $i$ 个数是关键点且所有 $\leq ⌊ \frac{a_{i}}{2} ⌋$ 的数与 $a_{i}$ 本身都已经填好的方案数。

如果 $2 \times a_{n - 1} > a_{n}$ ，答案为 0；否则，根据状态定义，答案为 $f_{n}$ 。

这是本题状态设计很有意思的一点，状态本身不能表示所有情况的答案，但是我们可以直接回答其不能表示的情况的答案。

下面来转移：

$f_{0} = 1$
$f_{i} = \sum_{j = 0, a_{j} \times 2 \leq a_{i}} A_{n - s_{a_{j}} - 1}^{s_{a_{i}} - s_{a_{j}} - 1} f_{j}$

考虑第二个转移式的意义。

我们枚举上一个关键点 $j$ ，那么根据状态定义，当前还有 $n - s_{a_{j}}$ 个位置，又因为 $a_{i}$ 一定放在 $a_{j}$ 后第一个没有填的位置（否则该位置不能填其他合法的数），所以还有 $n - s_{a_{j}} - 1$ 个位置不确定，我们要把 $> ⌊ \frac{a_{j}}{2} ⌋$ 且 $\leq ⌊ \frac{a_{i}}{2} ⌋$ 的除了 $a_{j}$ 的 $s_{a_{i}} - s_{a_{j}} - 1$ 个数填进去排列。（可以发现，所有空位一定在 $a_{i}$ 后边，所以可以放心地把这些数填进去）