P4345 超能粒子炮·改

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求 $\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}mod2333$

2333 是质数。

${10}^5$ 测，$n,k\le {10}^{18}$。

solution

由 Lucas 定理，${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}\equiv {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor n/p\rfloor }{\lfloor m/p\rfloor })}(\mathrm{mod}p)$，要求 $p$ 是质数。

因此我们可以按数位来 dp。

记 $po{s}_i(n)$ 表示 $n$ 在 2333 进制下从小到大第 $i$ 位的数值。

设 $f_i$ 表示 $\sum _{j=0}^{{2333}^i-1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}$。

则有转移式：

• $f_0=1$
• $f_m=\sum _{i=0}^{2333-1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{po{s}_m(n)}{i})}\times f_{m-1}$。（即枚举最高位是多少）。

设 $h_i$ 表示对于 $(n,kmod{2333}^i)$ 的答案，则有

• $h_0=\sum _{i=0}^{kmod2333}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{nmod2333}{i})}$

• $h_i={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{po{s}_i(n)}{po{s}_i(k)})}{h}_{i-1}+\sum _{j=0}^{po{s}_i(k)-1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{po{s}_i(n)}{j})}\times f_{i-1}$

一组询问的答案就是 $h_{{\log }_p^{max(n,k)}}$

预处理组合数及其每行的前缀和，每次询问 dp 后回答即可。

时间复杂度 $O(p^2+T{\log }_{p}n)$，其中 $p=2333$。

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