luogu P4119（未来日记） 题解

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首切 Ynoi QAQ 调了4个小时

题目描述

写个支持以下操作的数据结构：

对于长度为 $n$ 的序列 $a$，

• 给定 $l,r,k$, 求序列 $a$ 在该区间的 kth

• 给定 $l,r,x,y$, $a_i\leftarrow y(l\le i\le r,a_i=x)$

$n,m,a_i,x,y\le {10}^5$, $m$为操作数

题目分析

由于是Ynoi，所以分块呃呃呃 /kel

由于替换操作的存在，用树套树维护不太行（应该是不低于3log的），考虑分块。

如果是静态区间kth，怎么拿分块做呢？

单单序列分块做不了，可以参照可持久化权值线段树维护值域的思想，给值域也分块，就有了下面的静态做法：

开两个数组 $g_{i,j}$ 和 $cn{t}_{i,j}$，其中 $g_{i,j}$ 记录序列的 前 $i$ 个块中数值在值域里 第 $j$ 个块的数的数量，$cn{t}_{i,j}$ 表示序列的前 $i$ 的块中数值 $j$ 出现的次数。

于是对于每次询问，处理一下散块里的数，然后遍历一遍值域块就可以了。 时间复杂度 $\mathcal{O}((n+m)\sqrt{n})$。

接着考虑加上修改操作如何做。

我们的目标就是维护 $cnt$ 和 $g$ 数组，散块的似乎并不难处理，但是整块似乎不好处理，因为难以直接维护每个位置的值。

考虑一下操作2的性质，被操作的数在操作前后都是相等的，操作后又并入原来的 $y$ 中（假设存在）。我们可以考虑用并查集来维护整块内每种相等的数的值。

具体地说，$pa{r}_i$ 表示序列中第 $i$ 个数在并查集里的祖先，如果序列中第 $i$ 个数是它在的集合的根（即 $pa{r}_i=i$），用 $nu{m}_i$ 记录它代表的值，同时用 $w{h}_{i,j}$ 记录第 $i$ 个块内代表值为 $j$ 的集合的根所处的位置，不存在则为 0 。对于整块操作，维护这些并查集即可。散块暴力同理，但是需要注意区分一个数要不要被替换（具体细节在代码中）。

如果认为并查集时间复杂度均摊下来是 $\mathcal{O}(1)$ 的话，算法的时间复杂度就是 $\mathcal{O}((n+m)\sqrt{n})$，理论上可以通过本题。

但是大概率要卡卡常，一些技巧塞到代码注释里了。

参考代码

见 luogu剪贴板(这是一个链接)