ARC125D 题解

ARC125D

题意

给定长度为 $n$ 的序列中，求其中只出现过一次的非空子序列的个数，对 $998244353$ 取模。

题解

不难发现，一个只出现过一次的子序列合法的充分必要条件是：

1. 头部元素 $a_i$ 是原序列中下标最小的（即最左边的）值为 $a_i$ 的元素
2. 由对称性，该子序列最后一个元素 $a_i$ 是原序列中最后一个出现的值为 $a_i$ 的元素
3. 子序列中任意相邻两元素在原序列中，不妨设它们的下标分别是 $l,r$ 则 $\mathrm{\forall }{a}_i,l<i<r$ ，$a_i\ne a_l$ 且 $a_i\ne a_r$

这些条件可以举一些例子验证。

为了简化程序，我们可以为原序列设首尾两个哨兵，

具体地，令 $a_0=max\{a_i\}+1,a_{n+1}=max\{a_i\}+2,1\le i\le n$

这样 $a_0$ 与 $a_{n+1}$ 就和原序列任意元素不相同了，

接着，我们求以 $a_0$ 为头，$a_{n+1}$ 为尾的合法子序列个数，

我们就不必考虑条件 1 和条件 2 了。

然后就可以 dp 了，

记 $f_i$ 为以 $a_i$ 结尾的合法子序列个数，$ls{t}_i$ 为值为 $i$ 的元素目前为止最后出现的位置，则

• $f_0=1$

• $f_i=\sum _{j=ls{t}_{a_i}}^{i-1}{f}_j\times [j==ls{t}_{a_j}](i\ne 0)$

实际我们需要不断维护 $ls{t}_{a_i}$ 每次顺带把 $f_{ls{t}_{a_i}}$ (更新前的) 置为 0 ，这样转移时的求和就是区间求和了。

再加上单点修改，可以直接树状数组维护。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200010;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int a[N],n,c[N],f[N],lst[N],m;
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
void add(int x,int val){
	x++; //由于要用到0这个下标，树状数组中把所有下标偏移1 
	for(;x<=n+1;x+=lowbit(x)) c[x]=((c[x]+val)%mod+mod)%mod;
}
int ask(int x){
	x++; //同上 
	int ret=0;
	for(;x;x-=lowbit(x)) ret=((ret+c[x])%mod+mod)%mod;
	return ret;
}
 
int main(){
	
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		m=max(m,a[i]);
	}
	a[0]=m+1,a[n+1]=m+2; //设哨兵 
	
	f[0]=1; add(0,1);
	for(int i=1; i<=n+1; i++){
		f[i]=(ask(i-1)-ask(lst[a[i]]-1)+mod)%mod;
		if(lst[a[i]]) add(lst[a[i]],-f[lst[a[i]]]);
		add(i,f[i]);
		lst[a[i]]=i;
	}
	
	cout<<(f[n+1]-1+mod)%mod; //子序列不能空，所以减1 
	
	return 0;
}