数学题乱记
题目 1
在 \(\Delta ABC\) 中，满足 \(\cos^2{\cfrac{A}{2}} = \cfrac{b+c}{2c}\) ，判断三角形形状。
解
其中
\[\begin{aligned}
\cos^2{\cfrac{A}{2}} &= \cfrac{b+c}{2c} \\
\cfrac{1+\cos{A}}{2} &= \cfrac{\sin{B}+\sin{C}}{2\sin{C}} \\
1+\cos{A} &= \cfrac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{C}} \\
1+\cos{A} &= \cfrac{\sin{B}}{\sin{C}} + 1 \\
\cos{A} &= \cfrac{\sin{B}}{\sin{C}} \\
\cos{A} &= \cfrac{b}{c}
\end{aligned}
\]
根据余弦定理有
\[\cos{A} = \cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\]
所以可得到
\[b^2+c^2-a^2=2b^2
\]
即
\[a^2+b^2=c^2
\]
即直角三角形。
感谢 @Arielz 补充的证明过程。
其实画个图就明显，三个角满足这样条件的三角形只有直角三角形。
如图，
涉及知识点
半角公式，三角形边角关系，正弦定理。
数形结合。
瞎搞
题目来源
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附：半角公式推导
①
由倍角公式可知
\[\cos{2 \alpha} = 1 - 2 \sin^2{\alpha}
\]
则有
\[\begin{aligned}
\cos{\alpha} &= 1 - 2 \sin^2{\cfrac{\alpha}{2}} \\
1 - \cos{\alpha} &= 2 \sin^2{\cfrac{\alpha}{2}} \\
\sin^2{\cfrac{\alpha}{2}} &=\cfrac{1 - \cos{\alpha}}{2} \\
\end{aligned}
\]
可得
\[\sin\cfrac{a}{2} = \sqrt{\cfrac{1 - \cos{\alpha}}{2}}
\]
②
由
\[\cos^2{\cfrac{\alpha}{2}} = 1 - \sin^2{\cfrac{\alpha}{2}}
\]
可知
\[\begin{aligned}
&cos^2{\cfrac{\alpha}{2}}\\
= &1-\cfrac{1-\cos{\alpha}}{2} \\
= &\cfrac{1+\cos{\alpha}}{2}
\end{aligned}
\]
那么可得
\[\cos{\cfrac{a}{2}} = \sqrt{\cfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}
\]
③
由
\[\tan{\alpha} = \cfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}
\]
有
\[\tan{\cfrac{a}{2}} = \cfrac{\sin\cfrac{a}{2}}{\cos{\cfrac{a}{2}}}
\]
整理可得
\[\tan\cfrac{a}{2} = \sqrt{\cfrac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}
\]
证毕。
