『笔记』拓展中国剩余定理

写在前面

本篇主要介绍拓展中国剩余定理（EXCRT），如果没有学习中国剩余定理的推荐先学一下。

其实也无所谓，反正这俩也没啥关系吧。。

戳这里学习中国剩余定理。

导入

众所周知，中国剩余定理可以求解同余方程组

\[\left\{ \begin{aligned} & x \equiv c_1 \pmod{m_1} \\ & x \equiv c_2 \pmod{m_2} \\ & \cdots \\ & x \equiv c_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \]

其中 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 两两互质。

思路

求解同余方程

\[ \left\{ \begin{aligned} & x \equiv c_1 \pmod{m_1} \\ & x \equiv c_2 \pmod{m_2} \\ & \cdots \\ & x \equiv c_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \]

其中 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 不满足两两互质。

注意到此同余方程中的模数不互质，自然不可以用中国剩余定理解决。

首先，对于两个式子

\[\begin{aligned} x \equiv c_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv c_2 \pmod{m_2} \end{aligned} \]

变形有

\[\begin{aligned} x=c_1+m_1k_1 \\ x=c_2+ m_2k_2 \end{aligned} \]

联立

\[c_1 + m_1k_1 = c_2+m_2k_2 \]

移项

\[m_1k_1 = c_2-c_1+m_2k_2 \]

由于 \(\cfrac{(c_2-c_1)}{\gcd(m_1,m_2)}\) 必须为整数，所以该方程有解的充要条件为 \(\gcd(m_1,m_2) \mid (c_2-c_1)\)。

对于上述方程，两边同时除以 \(\gcd(m_1,m_2)\)

\[\begin{aligned} \cfrac{m_1k_1}{\gcd(m_1,m_2)} &= \cfrac{c_2-c_1}{\gcd(m_1,m_2)} + \cfrac{m_2k_2}{\gcd(m_1,m_2)} \\ \cfrac{m_1}{\gcd(m_1,m_2)}k_1 &= \cfrac{c_2-c_1}{\gcd(m_1,m_2)}+\cfrac{m_2}{\gcd(m_1,m_2)}k_2 \end{aligned} \]

转化为

\[\cfrac{m_1}{\gcd(m_1,m_2)}k_1 \equiv \cfrac{c_2-c_1}{\gcd(m_1,m_2)} \pmod{\cfrac{m_2}{\gcd(m_1,m_2)}} \]

此时 \(k_2\) 成功消去

同余式两边同时除以 \(\cfrac{m_1}{\gcd(m_1,m_2)}\) 有

\[k_1 \equiv inv(\cfrac{m_1}{\gcd(m_1,m_2)},\cfrac{m_2}{\gcd(m_1,m_2)}) \cdot \cfrac{c_2-c_1}{\gcd(m_1,m_2)} \pmod{\cfrac{m_2}{\gcd(m_1,m_2)}} \]

其中 \(inv(a,b)\) 表示 \(a\) 在 \(\pmod b\) 意义下的逆元，则有

\[k_{1} = inv \left( \cfrac{m_{1}}{\left(m_{1}, m_{2}\right)}, \cfrac{m_{2}}{\left(m_{1}, m_{2}\right)}\right) \cdot \cfrac{\left(c_{2}-c_{1}\right)}{\left(m_{1}, m_{2}\right)}+\cfrac{m_{2}}{\left(m_{1}, m_{2}\right)} \cdot y \]

将 \(k_1\) 带入到最开始的两个式子

\[x = inv\left(\cfrac{m_1}{\gcd(m_1,m_2)},\cfrac{m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\right) \cdot \cfrac{c_2-c_1}{\gcd(m_1,m_2)} \cdot m_1 + y \cdot \cfrac{m_1m_2}{\gcd(m_1,m_2)} + c_1 \]

转化为

\[x \equiv inv\left(\cfrac{m_1}{\gcd(m_1,m_2)},\cfrac{m_2}{\gcd(m_1,m_2)} \right) \cdot \cfrac{c_2-c_1}{\gcd(m_1,m_2)} \cdot m_1 +c_1 \pmod{\cfrac{m_1m_2}{\gcd(m_1,m_2)}} \]

此时，该式便可以看作

\[x \equiv c \pmod m \]

推广

若出现多个同余式合并，可以将其中两个先合并，得到一个新的同余式，然后再将其与其他同余式合并。

重复上述操作，直到完全合并。

例题

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

/*

Name: P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

Solution: 扩展中国剩余定理
   

By Frather_

*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define int long long

using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
    int X = 0, F = 1;
    char CH = getchar();
    while (CH < '0' || CH > '9')
    {
        if (CH == '-')
            F = -1;
        CH = getchar();
    }
    while (CH >= '0' && CH <= '9')
    {
        X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
        CH = getchar();
    }
    return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
int n;

const int _ = 100010;

int a[_], b[_];
/*=============================================自定义函数*/
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int res = exgcd(b, a % b, x, y);
    int z = x;
    x = y;
    y = z - a / b * y;
    return res;
}

int Qmul(int a, int b, int p)
{
    int res = 0;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = (res + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int excrt()
{
    int x, y;
    int m = b[1];
    int res = a[1];

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int a_ = m, b_ = b[i];
        int c_ = (a[i] - res % b_ + b_) % b_;
        int gcd = exgcd(a_, b_, x, y);
        int bb = b_ / gcd;
        if (c_ % gcd)
            return -1;
        x = Qmul(x, c_ / gcd, bb);
        res += x * m;
        m *= bb;
        res = (res % m + m) % m;
    }
    return res;
}
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
    n = read();

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        b[i] = read();
        a[i] = read();
    }

    printf("%lld\n", excrt());
    return 0;
}

P3868 [TJOI2009]猜数字

板子题，但是注意要用快速乘。

/*

Name: P3868 [TJOI2009]猜数字

Solution: 中国剩余定理
   

By Frather_

*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define int long long

using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
    int X = 0, F = 1;
    char CH = getchar();
    while (CH < '0' || CH > '9')
    {
        if (CH == '-')
            F = -1;
        CH = getchar();
    }
    while (CH >= '0' && CH <= '9')
    {
        X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
        CH = getchar();
    }
    return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
int n;
int a[100010], b[100010];

int ans;
/*=============================================自定义函数*/
int Qmul(int A, int B, int mod)
{
    int ans = 0;
    while (B > 0)
    {
        if (B & 1)
            ans = (ans + A % mod) % mod;
        A = (A + A) % mod;
        B >>= 1;
    }
    return ans;
}
int exgcd(int A, int B, int &x, int &y)
{
    if (!B)
    {
        x = 1, y = 0;
        return A;
    }
    int d = exgcd(B, A % B, x, y);
    int tmp = x;
    x = y, y = tmp - A / B * y;
    return d;
}
int lcm(int A, int B)
{
    int xxx, yyy;
    int g = exgcd(A, B, xxx, yyy);
    return (A / g * B);
}
int excrt()
{
    int x, y;
    int M = b[1], ans = a[1];

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int A = M, B = b[i];
        int C = (a[i] - ans % B + B) % B;

        int g = exgcd(A, B, x, y);

        if (C % g)
            return -1;

        x = Qmul(x, C / g, B);
        ans += x * M;
        M = lcm(M, B);
        ans = (ans % M + M) % M;
    }
    return ans;
}
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
    n=read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        b[i] = read();
        a[i] = (a[i] + b[i]) % b[i];
    }
    printf("%lld\n", excrt());
    return 0;
}

大数翻倍法

这里介绍一种暴力合并求解同余方程的奇妙方法。

思路

还是本文导入中的同余方程，先关注其中两个

\[\left\{ \begin{aligned} x \equiv c_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv c_2 \pmod{m_2} \end{aligned} \right. \]

设初始的 \(x=0,m=1\)，合并第一个方程后变为 \(x=a_1,m=m_1\)，那么现在只需满足第二个同余方程即可。

而此时已知

\[a_1+km_1 \pmod{m_1} =a_1 \]

所以可以直接暴力加和 \(m_1\) ，直到可以满足第二个同余方程。

若出现一个能满足条件的情况就合并，而模数要合并为 \(\operatorname{lcm}(m_1,m_2)\) 。

Tips:

这里有一个小优化，不难证明，更小的模数会使复杂度更优，所以可以对此进行判断，然后转换，再枚举即可。

最后代码：

void merge(int &a1, int &m1, int a2, int m2)
{
    if (m1 < m2)
    {
        swap(m1, m2);
        swap(a1, a2);
    }
    while (a1 % m2 != a2)
        a1 += m1;
    m1 = lcm(m1, m2);
}

时间复杂度 \(O\left(\sum\limits_{i=1}^nm_i\right)\) 可以接受。

具体时间复杂度度的证明可以看这里。

例题

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

/*

Name: P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

Solution: v2.0
   大数翻倍法

By Frather_

*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define int long long
#define InF 0x3f3f3f3f
#define kMax 10e5
#define kMin -10e5
#define kMod 998244353
using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
    int X = 0, F = 1;
    char CH = getchar();
    while (CH < '0' || CH > '9')
    {
        if (CH == '-')
            F = -1;
        CH = getchar();
    }
    while (CH >= '0' && CH <= '9')
    {
        X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
        CH = getchar();
    }
    return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
int n;
int a = 0, m = 1, a_, m_;
/*=============================================自定义函数*/
inline int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
inline int lcm(int a, int b)
{
    return a / gcd(a, b) * b;
}
void merge(int &a1, int &m1, int a2, int m2)
{
    if (m2 > m1)
    {
        swap(a1, a2);
        swap(m1, m2);
    }
    while (a1 % m2 != a2)
        a1 += m1;
    m1 = lcm(m1, m2);
}
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
    n = read();

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        m_ = read();
        a_ = read();
        a_ %= m_;
        merge(a, m, a_, m_);
    }
    printf("%lld\n", a);
    return 0;
}