『笔记』莫比乌斯反演
写在前面
该来的总会来，终究逃不过圈套。。
爱数学！但是对这种个人认为极其复杂的数学有种莫名的恐惧。。
前置芝士
反演
什么是反演？
参照学长 LB 的 「笔记」反演 。
积性函数
定义域为正整数的算术函数 \(f(x)\) 满足
一些常见的积性函数
-
欧拉函数 \(\varphi(n) = \sum \limits_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]\)
-
莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)
-
最大公约数 \(\gcd(n,k)\)
完全积性函数
定义域为正整数的算术函数 \(f(x)\) 满足
常见完全积性函数
-
恒等函数 \(I(n)=1\)
-
元函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\)
-
单位函数 \(id(n)=n\)
狄利克雷卷积（Dirichiet）
对于两算术函数 \(f,g\) ，定义 \((f * g)(n )=\sum_{d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right)\) ，其中 \(n\) 常常省略不写。
运算律
交换律
结合律
分配律
应用
理论 1
其中
则有
理论 2
其中 \(id(n)=n\) ，
则有
即 任何数的 \(\varphi\) 之和都是它本身 。
理论 3
证明：
有
其中
所以 \(\mu * id = \varphi\)
注意：\(\epsilon\) 可看作数论函数中的 \(1\) 。
莫比乌斯函数
这里详细说明一下上文提到的 \(\mu\) ，即莫比乌斯函数 。
定义
莫比乌斯函数定义为
性质
莫比乌斯函数是积性函数，具有一下性质
证明：
设 \(n=\prod \limits_{i=1}^{k} p_{i}^{c_{i}}, n^{\prime}=\prod \limits_{i=1}^{k} p_{i}\)
由莫比乌斯函数定义有
若 \(n^\prime\) 的某因子 \(d\) ，有 \(\mu(d)=(-1)^\prime\) ，则它由 \(i\) 个本质不同的质因子组成。
由于质因子总数为 \(k\)，满足上式的因子数为 \(C_k^i\) 。
对于原式，可转化为枚举 \(\mu(d)\) 的值
根据二项式定理，上式可化为
显然当 \(k=0\) ，即 \(n=0\) 时为 \(1\) ，否则为 \(0\) 。
线性筛求莫比乌斯函数
\(\mu\) 为积性函数，因此可以线性筛求莫比乌斯函数。
/*
线性筛求莫比乌斯函数
By Luckyblock
有删改。
*/
int pnum, mu[_], p[_];
bool vis[_];
void Euler(int lim_)
{
vis[1] = true;
mu[1] = 1ll;
for (int i = 2; i <= lim_; ++i)
{
if (!vis[i])
{
p[++pnum] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 1; j <= pnum && i * p[j] <= lim_; ++j)
{
vis[i * p[j]] = true;
if (!(i % p[j]))
{ //勿忘平方因子
mu[i * p[j]] = 0;
break;
}
mu[i * p[j]] = -mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演
定义
设 \(f(n),g(n)\) 两个数论函数，
若
则有
证明
利用狄利克雷卷积卷积，原问题可化为
已知 \(f = g * I\) ，证明 \(g= f * \mu\) 。
显然有
证毕。
应用
这里有一个套路，一般涉及到莫比乌斯反演的题目都可以按照这个思路来。
zhx 亲授/kel
求 \(\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \gcd(i,j)\) 的值。
“反正这题数据范围暴力肯定过不了，其他无所谓。——zhx
显然，直接暴力枚举 \(O(nmlog)\)肯定过不了。。
能否在 \(O(n)\) 的时间内求解呢？
这里可以用一个非常奇妙的思想——求和变形。
-
增加枚举变量
由 \(id = \varphi * I\) 有
\[\begin{align} & \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \gcd(i,j) \\ =& \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m id[ \gcd(i,j)] \\ =& \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \sum \limits_{d \mid \gcd(i,j)} \varphi(d) * I \\ =& \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \sum \limits_{d \mid \gcd(i,j)} \varphi(d) \end{align} \] -
交换枚举顺序
\[\begin{align} &\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \sum \limits_{d \mid \gcd(i,j)} \varphi(d) \tag{4}\\ &=\sum \limits_{d=1}^n \sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} \sum \limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor} \varphi(d) \tag{5} \end{align} \] -
删除无用变量
\[\begin{align} & \sum \limits_{d=1}^n \sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} \sum \limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor} \varphi(d) \tag{5} \\ =& \sum \limits_{d=1}^n \left\lfloor\cfrac{n}{d}\right\rfloor \left\lfloor\cfrac{m}{d}\right\rfloor \varphi(d) \tag{6} \end{align} \]
然后就可以直接枚举 \(d=1 \sim n\) 求解答案。
时间复杂度 \(O(n)\) 。
/*
Name: P2398 GCD SUM
Solution:
By Frather_
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define int long long
#define InF 0x3f3f3f3f
#define kMax 10e5
#define kMin -10e5
#define kMod 998244353
using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
int X = 0, F = 1;
char CH = getchar();
while (CH < '0' || CH > '9')
{
if (CH == '-')
F = -1;
CH = getchar();
}
while (CH >= '0' && CH <= '9')
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
CH = getchar();
}
return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
int n;
const int _ = 1000010;
int prime[_], v[_], phi[_], cnt;
int res[_];
int ans;
/*=============================================自定义函数*/
void eular(int n) //线性筛筛欧拉函数
{
memset(v, 0, sizeof(v));
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!v[i])
{
prime[++cnt] = v[i] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 1; j <= cnt; j++)
{
if (prime[j] > v[i] || i * prime[j] > n)
break;
v[i * prime[j]] = prime[j];
phi[i * prime[j]] = phi[i] * (i % prime[j] ? prime[j] - 1 : prime[j]);
}
// sumPhi[i] = sumPhi[i - 1] + phi[i];
}
}
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
n = read();
eular(n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans += (n / i) * (n / i) * phi[i];
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
最后
鸣谢 ：
如果存在错误，感谢指出。
