『笔记』组合数学（六）

\[\Huge{（六）组合数学初步} \]

简介

组合数学（Combinatorial mathematics），又称为离散数学。

广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。

总之，组合数学是一门研究离散对象的数学科学。

排列组合

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

加法 & 乘法原理

加法原理

对于一件一定可以完成的事情，完成它有 \(n\) 类方式，第一类方式有 \(M_1\) 种方法，第二类方式有 \(M_2\) 种方法，\(\cdots\) ，第 \(n\) 类方式有 \(M_n\) 种方法，那么完成这件事情共有 \(M_1 + M_2 + \cdots + M_n\) 种方法。

例如说，你要去 AK IOI 啦！ 某场比赛分为若干类分赛， AK 总赛的条件是 AK 任意一类分赛，而每类分赛都有许多种 AK 的方法，则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 各类分赛的方法数量之和。

加法原理又可以写作

\[S = \sum_{i=1}^{n} a_i \]

其中 \(S\) 表示完成这项工作总的方案数， \(a_i\) 表示每种方案的数量。

乘法原理

对于一件一定可以完成的事情，完成它共需 \(n\) 步，第一步共有 \(M_1\) 种方法，第二步共有 \(M_2\) 种方法， \(\cdots\) ，第 \(n\) 步共有 \(M_n\) 种方法，那么完成这件事共有 \(M_1 \times M_2 \times \cdots \times M_n\) 种方法。

又例如说，你还要去 AK IOI 又有某场比赛分为若干类分赛， 而这次 AK 总赛的条件是 AK 所有分赛，而每类分赛都有若干种 AK 的方法，则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 每类分赛的数量之积。

乘法原理又可以写作

\[S = \prod_{i=1}^{n} a_i \]

其中 \(S\) 表示完成这项工作总的方案数， \(a_i\) 表示每种方案的数量。

排列数

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m ( m \leq n, m\) 与 \(n\) 均为自然数 \()\) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m(m \leq n)\) 个 元素的所有排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，记作 \(A_{n}^{m}\)（或者是 \(P _{n}^{m}\)）。

排列和组合是基于加法原理和乘法原理得出。

排列的计算公式为

\[A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \cfrac{n !}{(n-m) !} \]

其中

\(A\)	排列数
\(n\)	元素的总数
\(m\)	选择的元素数
\(n!\)	\(n\) 的阶乘

注：

1. 上式中当 \(n=m\) 时所有的排列情况叫做 全排列 。

2. 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。

组合数

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m(m \leq n)\) 个元素组成一个集合，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合; 从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m(m \leq n)\) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数，记作 \(C _{n}^{m}\) 或 \(\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)\) （目前数学界普遍采用后者的原因知识由于它表意更清晰，更美观便捷。

组合的计算公式为

\[C _{n}^{m} = \left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right) =\cfrac{ A _{n}^{m}}{m !}=\cfrac{n !}{m !(n-m) !} \]

其中

\(C\)	组合数
\(n\)	元素的总数
\(m\)	选择的元素数
\(n!,m!\)	\(n,m\) 的阶乘

二项式定理

组合数也被称为 二项式系数 ，是定义为形如 \((1 + x)^n\) 展开后 \(x\) 的系数（其中 \(n\) 为自然数，\(k\) 为整数）。

展开式

\[(a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ i \end{array}\right) a^{n-i} b^{i} \]

由归纳法得

\[\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) \]

由此拓展开得

\[{\sum_{i=1}^{t} x_{i}}^{n}=\sum_{满足 \sum_{i=1}^{n}n_{i}=n 的非负整数解 } \left(\begin{array}{c} n \\ \prod_{i=1}^{t} n_i \end{array}\right) \prod_{i=1}^{t} x_{i}^{n_i} \]

其中的

\(n\)	正整数
\(x_i\)	实数
\(\left(\begin{array}{c}n \\ n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{t}\end{array}\right)\)	多项式系数

性质则有

\[\sum\left(\begin{array}{c} n \\ \prod_{i=1}^{t} n_{i} \end{array}\right)=t^{n} \]

未完待续~