『笔记』数学数论（七）
卡特兰数
\[\Huge{（七）组合数学之 \color{#3086B1}{卡特兰数}}
\]
简介
卡特兰数（Catalan），又称明安图数，是组合数学中一个常出现于各种计数问题的数列。
对应序列为：
\(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, \cdots\)
满足
\[M_{n+1} = M_0M_n + M_1M_{n-1} + \cdots + M_nM_0
\]
其中 \(C_0=1,C_1=1\)
性质
注：为避免符号重复本文所有公式将以 \(M_n\) 表示卡特兰数，即明安图数的拼音首字母。
符合通项公式：
\[M_{n}=C_{2 n}^{n}-C_{2 n}^{n+1}=\frac{C_{2 n}^{n}}{n+1}\left(n \geq 2, n \in N _{+}\right)
\]
那么可以推出如下公式：
\[\begin{aligned}
M_{n+1} &=\frac{M_{n}(4 n-2)}{n+2} & \\
M_{n} &=\left\{
\begin{array}{ll}
\sum_{i=1}^{n} M_{i-1} M_{n-i} & n \geq 2, n \in N _{+} \\
1 & n=0,1
\end{array}\right.\\
M_{n} &=
\begin{bmatrix}
2 n \\
n
\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}
2 n \\
n-1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
基本原理
先来看一个问题：
对于 \(n\) 对括号，求共有多少种合法的匹配方案数。
其中括号的合法匹配方式为：一个左括号对应一个右括号，且左括号必须要在右括号前面出现。
这里我们用 +1 表示 “ \((\) ” ，用 -1 表示 “ \()\) ”。
那么显然，对于一组合法的括号序列，该序列的前缀和必然大于或等于 \(0\) ；相反，若该括号序列不合法，其前缀和必然存在小于 \(0\) 的情况。
首先给出一个序列：
()(())()
该序列可以表示为
+1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1
显然这是一个非法序列。
对于像这样的一个非法序列，找到第一个前缀和小于 \(0\) 的括号，并对该前缀中的每一个数进行取反。
上述例子便可以得到
-1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 -1
此时该序列中共有 \(3+1+1=5\) 个 +1 和 \(4-1=3\) 个 -1 。不难看出，第一个小于 \(0\) 的前缀和必定为 \(-1\) ，即 \(-1\) 比 \(+1\) 多一个，取反后则 \(-1\) 比 \(+1\) 少一个。这样总体上看，由于二者数量原本相同，所以 \(+1\) 必定变为 \(n+1\) 个，\(-1\) 则变为 \(n-1\) 个。
由此，该结论可以推广：
对于 \(n\) 对括号的每种非法匹配序列 \(A\)，一定会有一个含有 \(n+1\) 个 \(+1\) 和 \(n-1\) 个 \(-1\) 的序列 \(B\) 与其一一对应。
而序列 \(B\) 的数量可以通过 \(C_{2n}^{n+1}\) 计算，即非法序列的数量为 \(C_{2n}^{n+1}\)。
而序列的总数量为 \(C_{2n}^n\) （从 \(2n\) 个位置中选择 \(n\) 个位置放左括号，不考虑先后顺序），则合法的匹配序列数量为：
\[C_{2 n}^{n}-C_{2 n}^{n+1}=\cfrac{C_{2 n}^{n}}{n+1}
\]
由此便推导出了卡特兰数的通项公式。
应用
P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
直接由基本原理可以推出：
公式 1
\[H_n=\cfrac{H_{n−1} \times 4 \times n−2}{n+1}
\]
代码：
/*
Name: P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
Solution:
By Frather_
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
int X = 0, F = 1;
char CH = getchar();
while (CH < '0' || CH > '9')
{
if (CH == '-')
F = -1;
CH = getchar();
}
while (CH >= '0' && CH <= '9')
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
CH = getchar();
}
return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
const int _ = 110;
int n;
int h[_];
/*=============================================自定义函数*/
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
h[0] = 1;
h[1] = 1;
n = read();
for (int i = 2; i <= n; i++)
h[i] += h[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);
printf("%lld\n", h[n]);
return 0;
}
公式 2
\[H_n=H_0 \times H_{n-1}+H_1 \times H_{n-2} + \cdots + H_{n-1} \times H_0 (n \geq 2)
\]
代码：
/*
Name: P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
Solution:
By Frather_
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
int X = 0, F = 1;
char CH = getchar();
while (CH < '0' || CH > '9')
{
if (CH == '-')
F = -1;
CH = getchar();
}
while (CH >= '0' && CH <= '9')
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
CH = getchar();
}
return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
const int _ = 110;
int n;
int h[_];
/*=============================================自定义函数*/
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
h[0] = 1;
h[1] = 1;
n = read();
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
h[i] += h[j] * h[i - j - 1];
printf("%lld\n", h[n]);
return 0;
}
公式 3
\[H_n =\cfrac{C_{2n}^n}{n+1}(n=0,1,2,\cdots)
\]
其中
\[C_m^n = C_{m-1}^{n-1} + C_{m-1}^n
\]
并且规定
\[C_n^0=1, C_n^n=1, C_0^0=1
\]
代码：
/*
Name: P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
Solution:
By Frather_
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
int X = 0, F = 1;
char CH = getchar();
while (CH < '0' || CH > '9')
{
if (CH == '-')
F = -1;
CH = getchar();
}
while (CH >= '0' && CH <= '9')
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
CH = getchar();
}
return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
const int _ = 110;
int n;
int h[_ << 1][_];
/*=============================================自定义函数*/
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
n = read();
for (int i = 1; i <= n << 1; i++)
{
h[i][0] = 1;
h[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
{
h[i][j] = h[i - 1][j] + h[i - 1][j - 1];
}
}
printf("%lld\n", h[n << 1][n] / (n + 1));
return 0;
}
公式 4
\[H_n=C_{2n}^n−C_{2n}^{n−1}(n=0,1,2,\cdots)
\]
代码：
/*
Name: P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
Solution:
By Frather_
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
/*==================================================快读*/
inline int read()
{
int X = 0, F = 1;
char CH = getchar();
while (CH < '0' || CH > '9')
{
if (CH == '-')
F = -1;
CH = getchar();
}
while (CH >= '0' && CH <= '9')
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (CH ^ 48);
CH = getchar();
}
return X * F;
}
/*===============================================定义变量*/
const int _ = 110;
int n;
int h[_ << 1][_];
/*=============================================自定义函数*/
/*=================================================主函数*/
signed main()
{
n = read();
for (int i = 1; i <= n << 1; i++)
{
h[i][0] = 1;
h[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
h[i][j] = h[i - 1][j] + h[i - 1][j - 1];
}
printf("%lld\n", h[n << 1][n] - h[n << 1][n - 1]);
return 0;
}
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