『笔记』树链剖分
前置
树
别说你不知道什么是树。。。不知道就去睡觉吧。
DFN 序
-
记录 \(dfs\) 的时候每个点访问起始时间与结束时间，记录起始时间是前序遍历，结束时间是后序遍历。
可以轻易地发现树的一棵子树在 \(dfs\) 序上是连续的一段。 -
\(dfn\) 序是节点按照 \(dfs\) 进入节点的顺序排列的序列。
一般 \(dfn\) 序可以认为是 \(dfs\) 序的一半、是 \(dfs\) 序的子序列 。
一些可能用到的概念
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重儿子
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在所有的节点中拥有子树节点最多的一个父节点
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是个节点
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轻儿子
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除去重儿子其它所有的父节点
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也是个节点
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重边
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父节点和重儿子连成的边
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是一条边
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轻边
-
父节点和轻儿子连成的边
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也是一条边
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-
重链
- 由多条重边连接而成的路径
-
轻边
- 有多条轻边链接而成的路径
对于上图：
1 号节点的子结点中，4 号节点的子树节点比 2、3 号的多，所以 4号节点是重儿子；
4 号节点的子节点中，9 号节点的子树节点比 8、10 号的多，所以 9号节点是重儿子；
以此类推。
那么：
图中加粗的节点都是重儿子，其它节点都是轻儿子；
红色边都是重边，黑色边都是轻边；
\(1 \to 4 \to 9 \to 12 \to 14\) 、 \(3 \to 7\) 和 \(2 \to 6 \to 11\) 是重链。
来张更详细具体的图片：
图片来自 ChinHhh's blog
定义
百度者云：
一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分将树分为多条链，保证每个点属于且只属于一条链，然后再通过数据结构（树状数组、BST、SPLAY、线段树等）来维护每一条链。
简单来说就是对树进行轻重边剖分，分割成多条链，然后通过某些数据结构进行维护。
其实本质上来说还是一种优化暴力。
算法的本质不就是加速枚举么
or
by attack
功能实现
对于上述两张图片的分析，可以发现一个规律：
叶节点没有重儿子，非叶节点有且只有一个重儿子，并不是轻儿子之后全是轻儿子。
或者换句话说：
当一个节点选了他的重儿子之后，我们并不能保证它的轻儿子就是叶节点，所以我们就以这个轻儿子为根，再去选这个轻儿子的轻重儿子。
其实这就是一个 \(dfs\) 过程，而且通过上述操作，我们可以得到许多重链。
变量声明
int n, m;
const int _ = 100010;
struct edge
{
int to;
int nxt;
} e[2 * _];
int cnt, head[_];
struct Node
{
int sum;
int lazy;
int l;
int r;
int ls;
int rs;
} node[2 * _];
int fa[_], dep[_], siz[_], mson[_], rk[_], top[_], id[_];
| 名称 | 含义 |
|---|---|
| fa[u] | 节点 u 的父亲节点 |
| dep[u] | 节点 u 的深度 |
| siz[u] | 以节点 u 为根的子树节点数目 |
| mson[u] | max_weight_son 重儿子 |
| rk[u] | 当前 dfs 标号在树中所对应的节点 |
| top[u] | 当前节点所在链的顶端节点 |
| id[i] | 节点 i 在树链剖分后的新编号（ dfs 序） |
实现思路
通过两次 \(dfs\) 实现。
dfs1()
对于某个节点：
-
求出它所在的子树大小
-
找到该子树的重儿子
（处理出 siz 和 mson 数组）
- 记录其父亲以及深度
（处理出 f ， d 数组）
/*
代码来自网络。
*/
void dfs1(int u, int fa, int depth) //当前节点、父节点、层次深度
{
fa[u] = fa_;
d[u] = depth;
siz[u] = 1; //对于这个点本身来说siz=1
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if (v == fa)
continue;
dfs1(v, u, depth + 1); //层次深度+1
siz[u] += siz[v]; //子节点的siz已被处理，用它来更新父节点的siz
if (siz[v] > siz[mson[u]])
mson[u] = v; //选取siz最大的作为重儿子
}
}
//进入
dfs1(root, 0, 1);
图片来自 Ivanovcraft's blog
dfs2()
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链接重链
-
标记每个节点的 \(dfs\) 序
-
用数据结构维护重链，保证每一条重链上各个节点 \(dfs\) 序上是连续的一段
（处理出 top 、 id 、rk 数组）
/*
代码来自网络。
*/
void dfs2(int u, int t) //当前节点、重链顶端
{
top[u] = t;
id[u] = ++cnt; //标记dfs序
rk[cnt] = u; //序号cnt对应节点u
if (!mson[u])
return;
dfs2(mson[u], t);
/*我们选择优先进入重儿子来保证一条重链上各个节点dfs序连续，
一个点和它的重儿子处于同一条重链，所以重儿子所在重链的顶端还是t*/
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if (v != mson[u] && v != fa[u])
dfs2(v, v); //一个点位于轻链底端，那么它的top必然是它本身
}
}
图片来自 Ivanovcraft's blog
时间复杂度
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如果 \((u, v)\) 是一条轻边，那么 \(siz(v) < siz(u)/2\)
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从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小于 \(\log n\)
总体时间复杂度为：
\(\huge O(n \log ^ 2 n)\)
