多重背包 问题 — 二进制优化

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• Code

问题描述

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数\(N，V (0<N≤1000, 0<V≤20000)\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行三个整数 \(v_i,w_i,s_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

问题分析

对于\(s\)个物品来说，我们可以用二进制的方式来拆分这个\(s\)个物品。

如果\(s\)恰好是一个\(2^n\)类型的数字，可以得到\(s=2^0+2^1+2^2\cdots +2^k\)；如果不是，那就会得到\(2^0+2^1+2^2\cdots +2^k+c\)，其中\(c=s-(2^{k+1}-1)\)。

这样以来，这\(s\)个物品的在\([0,s]\)的所有选法即都能表示出来，而且计算次数还下降到了\(\log_2{n}\)，按照\(01\)背包的方式求出答案。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

constexpr int N = 10010;
int f[N], v[N], w[N];

int main()
{
    int n, m, cnt = 0;

    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int a, b, s; cin >> a >> b >> s;

        // 将当前物品的所有选择方案拆分成二进制
        int k = 1;
        while (k <= s)
        {
            v[++cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k <<= 1;
        }
        if (s > 0)
        {
            v[++cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }

    // 记得更新n的数量
    n = cnt;

    /*
     * 此时, 一个v[], w[]相当于k * v[], k * w[],
     * 所以这时候的多重背包问题就相当于变成了
     * 01背包问题, 接下来只需要按照01背包的做法求出答案
     */
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << '\n';

    return 0;
}