多重背包问题 — 单调队列优化

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问题描述

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数\(N，V (0<N≤1000, 0<V≤20000)\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行三个整数 \(v_i,w_i,s_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

constexpr int N = 20020;

/*
* 由于只会用到两种状态, 所以用
* f[]代表当前状态, g[]代表上一个状态
*/
int f[N], g[N];

int n, m;

/*
* 单调队列q[]存储的是r + k * v, 即背包的状态.
* 而维护的却是当前背包状态下的价值的单调性.
* 窗口长度是当前所能拿走物品的最大数量s.
*/
int q[N];

int main()
{
   scanf("%d%d", &n, &m);
   for (int i = 0; i < n; i++)
   {
       int v, w, s;
       scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);

       memcpy(g, f, sizeof f);

       // r代表余数
       for (int r = 0; r < v; r++)
       {
           int hh = 0, tt = -1;
           // k代表拿走物品的体积数
           for (int k = r; k <= m; k += v)
           {
               /*
                * k - q[hh]代表当前物品放入背包中的体积, 
                * 之后再除v就可以得到当前物品的数量,
                * 如果 >s, 说明超出窗口的值, 弹出队头.
                */
               if (hh <= tt && (k - q[hh]) / v > s) hh++;
       
               /*
                * r + k * v = q[tt], 所以(q[tt] - r) / v * w = k * w, 即拿走的物品的价值.
                * 由于每一个状态之间都有偏移量, 所以进行比较前需要删掉偏移量,
                * 之后比较弹出队尾元素, 保证队列的单调性
                */
               while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - r) / v * w <= g[k] - (k - r) / v * w) 
                   --tt;

               // 加入新的元素
               q[++tt] = k;
   			
               // 更新如果能取该k个该物品的最大价值
               if (hh <= tt) 
                   f[k] = max(f[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w);
           }
       }
   }

   cout << f[m] << endl;

   return 0;
}