poj1284（欧拉函数+原根）

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-1284

题意：给定奇素数p，求x的个数，x为满足{(xⁱ mod p)|1<=i<=p-1}={1,2,...,p-1}。

思路：题目的实质就是问p有多少原根。

　　下面是百度对原根的解释:
　　　　设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
　　　　假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).
　　　　简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）//这句话就是满足的条件。
　　　　其中i≠j且i, j介于1至(p-1)之间
　　　　这个题目就是将原根的定义解释了一遍。
　　
　　有两点重要的原根性质
　　　　1. 模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。
　　　　2. 当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

　　某大牛的证明（没看懂...QAQ）：

　　　　{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {xi%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},即为(p-1)的完全剩余系　　

　　　　若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,

　　　　根据定理,可以推出若gcd(x, p-1) = 1时, (1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系

　　　　因为若xi != xj (mod p-1),那么x*xi != x*xj (mod p-1),与条件m矛盾,所以 xi = xj (mod p-1),

　　　　由此可以确定答案为eu(p-1)。

　　知道答案是eu(p-1)，代码就很好实现了，筛法打表65525以内的数的欧拉函数即可。

AC代码：

#include<cstdio>
using namespace std;

int eu[66000],p;

void eular(){
    for(int i=2;i<=65536;++i)
        if(!eu[i])
            for(int j=i;j<=65536;j+=i){
                if(!eu[j]) eu[j]=j;
                eu[j]=eu[j]/i*(i-1);
            }
}

int main(){
    eular();
    while(~scanf("%d",&p)){
        printf("%d\n",eu[p-1]);
    }
    return 0;
}