poj1845（逆元+快速幂）

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-1845

题意：求A的B次方的所有因子（包括1）的和对9901的模。

思路：首先对A利用唯一分解定理得A=p1^x1*p2^x2*...*pn^xn，则A^B=p1^B*x1*p2^B*x2*...*pn^B*xn。且其所有因子的和等于：

　　　　(1+p1¹+...+p1^B*x1)*(1+p2¹+...+p2^B*x2)*...*(1+pn¹+...+pn^B*xn)。

　　　对其中的1+pi¹+...+pi^B*xi，可以用等比数列的求和公式来计算，即(pi^B*xi+1-1)/(pi-1)，需要计算除法对9901的模，所以需用逆元。注意到这里不建议使用费马小定　　　理或扩展欧基里德来求逆元，因为不能确保互斥，所以选择最方便的a/b % m=a%(b*m)/b，其中b|a。但要注意的是用快速幂时乘法可能超出LL的范围，所以用到　　　了快速乘法。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL Mod=9901;
int A,B;
LL ans=1,M;

LL qmul(LL a,LL b){
    LL ret=0;
    while(b){
        if(b&1) ret=(ret+a)%M;
        b>>=1;
        a=(a+a)%M;
    }
    return ret;
}

LL qpow(LL a,LL b){
    LL ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=qmul(ret,a);
        b>>=1;
        a=qmul(a,a);
    }
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&A,&B);
    for(int i=2;i*i<=A;++i){
        if(A%i==0){
            int num=0;
            while(A%i==0){
                A/=i;
                ++num;
            }
            M=Mod*(i-1);
            ans=ans*(qpow(i,num*B+1)-1LL+M)/(i-1)%Mod;
        }
    }
    if(A!=1){
        M=Mod*(A-1);
        ans=ans*(qpow(A,B+1)-1LL+M)/(A-1)%Mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}