Floyd算法简介
参考:https://blog.csdn.net/qq_35644234/article/details/60875818
一.Floyd算法的介绍
1.算法的特点:
弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理无向图或有向图或负权(仅适合权值非负的图)的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。
2.算法的思路:
通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时,需要引入两个矩阵,矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。矩阵P(记录最短路的路径需要,若题目不需要求路径则不需要P数组)中的元素b[i][j],表示顶点i到顶点j经过了顶点b[i][j]。
假设图G中顶点个数为N,则需要对矩阵D和矩阵P进行N次更新。初始时,矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值;如果i和j不相邻,则a[i][j]=∞,矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。 接下来开始,对矩阵D进行N次更新。第1次更新时,如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0][j]”(a[i][0]+a[0][j]表示”i与j之间经过第1个顶点的距离”),则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。 同理,第k次更新时,如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”,则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。实质上是背包DP问题,最外层循环是k,表示利用前k个作为中间计算a[i][j]的最小值,本来需要三位数组a[k][i][j],因为第k次循环只会用到a[k-1][i][j],所以利用滚动数组,使用二维数组即可。更新N次之后,操作完成!时间复杂度为O(N^3),空间复杂度为O(N^2)。
核心代码:
1 for(k=0;k<n;k++) 2 for(i=0;i<n;i++) 3 for(j=0;j<n;j++) 4 if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]) 5 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],b[i][j]=b[i][k];
只有5行!现在你会发现这个看起来很高大上的算法很简单了,算是最短路的4个算法里最暴力的了!
3.实例:
题目链接:https://pintia.cn/problem-sets/1101307589335527424/problems/type/7
题意:有n种动物,m种直接转换的咒语,且转换具有传递性,求从哪一种动物到另一种的动物的最长咒语的最小值,若不能转换到所有动物,则输出0.
思路:Floyd算法的裸应用,将动物抽象为点,咒语长度抽象为边的权值,代码如下:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m,a,b,c; int mp[105][105]; int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) if(i!=j) mp[i][j]=inf; while(m--){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); mp[a][b]=c; mp[b][a]=c; } for(int k=1;k<=n;++k) for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j]) mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j]; int maxi,minv=0,res=inf; for(int i=1;i<=n;++i){ maxi=0; for(int j=1;j<=n;++j) if(mp[i][j]>maxi) maxi=mp[i][j]; if(maxi<res) res=maxi,minv=i; } if(minv) printf("%d %d\n",minv,res); else printf("0\n"); return 0; }