LeetCode 每日一题 [2029]石子游戏 IX

一道Medium难度（狗屁）的博弈论题，AC率45.3%（手动狗头）。这道题的难度已经远远超过中等难度了，Hard至少一半没有这个难，而且博弈论属于现代数学的一个分支，是运筹学的子类，多用在金融数学，所以这道题对逻辑思维和数学能力要求很高。引用一下一位大佬的评论：

https://leetcode.com/discuss/general-discussion/1500149/weekly-contest-261 官方把这个题放在了第三题的位置（此题的存在也使得2030题的竞赛分远远超过实际难度），引来了美国站用户的不满，并直接导致了博弈题目从此退出LeetCode平台，周赛第三题在放水的道路上越走越远（第三题难度达不到”中等“的情况，此题之前极其罕见，此题以后我已经见过4次）……

这个题目标“中等”是非常过分的，做不出来很正常，如果实在不会就来题解区学习标准做法，不要轻易气馁~

Alice 和 Bob 再次设计了一款新的石子游戏。现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值。给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。

Alice 和 Bob 轮流进行自己的回合，Alice 先手。每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。

如果玩家移除石子后，导致 所有已移除石子 的价值 总和 可以被 3 整除，那么该玩家就 输掉游戏 。
如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 Bob 将会直接获胜（即便是在 Alice 的回合）。
假设两位玩家均采用 最佳 决策。如果 Alice 获胜，返回 true ；如果 Bob 获胜，返回 false 。

先借一张大佬的逻辑图

由于目标是3的倍数，那么我们可以把石子的价值看做除以3的余数，也就是0,1,2，对应石子的数量分别为nums[0]，nums[1]，nums[2]。

移除类型0的石子可以看做先后手交换：

• 如果类型 0 的石子的个数为偶数，那么胜负情况等价于没有类型 0 的石子的胜负情况；
• 如果类型 0 的石子个数为奇数，那么胜负情况等价于只有 1 个类型 0 的石子的胜负情况。注意这里不能单纯地等价于「没有类型 0 的石子的胜负情况」的相反情况，这是因为如果所有的石子都被移除完，无论谁移除了最后一个石子，都算 Alice 输。因此如果 Alice 发现自己选择移除类型 1 或 2 的石子不能获胜，于是选择移除类型 0 的石子，并且它不能获胜的原因是「石子会移除完」，那么 Alice 仍然会输。

将类型 $0$ 的石子考虑完全之后，我们就还剩下类型 $1$ 和 $2$ 的石子了。可以发现，为了保证移除石子的和不为 $3$ 的倍数，操作顺序只有可能为下面的两种情况：

• 如果 Alice 首先移除类型 $1$ 的石子，那么 Bob 只能移除类型 $1$ 的石子，在这之后 Alice 只能移除类型 $2$ 的石子，Bob 同样只能移除类型 $1$ 的石子。以此类推，移除石子的类型序列为：

  $$1121212121\cdots$$

• 如果 Alice 首先移除类型 $2$ 的石子，我们可以类似得到移除石子的类型序列为：

  $$2212121212\cdots$$

总结

• 如果 $0$ 的数量为偶数，因为 $Alice$ 先手，只要 $nums[1]$ 和 $nums[2]$ 皆大于 $0$ 即可，则 $Alice$ 赢。
• 如果 $0$ 的数量为奇数，相当于在 $1$ 和 $2$ 的序列里面可以插一个 $0$，因为 Alice 先手，只要 $nums[1]$ 和 $nums[2]$ 之间绝对之差大于 $2$，则 $Alice$ 赢。

解释一下如果 $0$ 的数量为奇数，为什么是 $nums[1]$ 和 $nums[2]$ 之间绝对之差大于 $2$。

• 首先，$Alice$ 肯定不会选择 $0$，一定会选择 $1$ 或者 $2$，以选 $1$ 举例来说。
• $Alice$ 选了 $1$，那么 $Bob$ 能选 $0$ 或者 $1$。
  • 如果 $Bob$ 选了 $0$，那么 $Alice$ 下轮只能选 $1$，后面 $Bob$ 选 $2$，所以最后的序列为 1 0 1 2 1 2 1...，可以看出 $1$ 的数量必须要比 $2$ 的数量至少多 $2$。
  • 如果 $Bob$ 选了 $1$，那么 $Alice$ 下轮可以能选 $0$ 或者 $2$，可以枚举 $Alice$ 选的情况，可以发现最后的序列和上面类似，都是在 1和2的序列里面插入一个$0$.
• $Alice$ 选了 $2$，和上面同理，结果是和选 $1$ 相反， $2$ 的数量必须要比 $1$ 的数量至少多 $2$。

这样的话代码就如下：

class Solution {
    public boolean stoneGameIX(int[] stones) {
        int[] nums = new int[3];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            nums[stones[i] % 3]++;
        }
        if (nums[0] % 2 == 0) {
            return nums[1] > 0 && nums[2] > 0;
        } else {
            return nums[1] - nums[2] > 2 || nums[2] - nums[1] > 2;
        }
    }
}

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)