Algorithm Course Review(7.1)

　　第7章，动态规划，Dynamic Programming
　　又是动态规划，上一次想整理动态规划，结果还没有整理完，实际上是没有整理的动力了，整理一道题都好费时间的。
　　现在又要整理，这次能整理多少了？已经开始写了，那至少有些成果吧。

　　最长公共子序列问题
　　书上例题，先简单分析一下，然后看与之类似的一个问题。
　　给出两个长度为n和m的字符串A=a1a2..an和B=b1b2..bm，确定A和B的最长公共子序列的长度。其中，子序列的定义是形式为ai1,ai2,..aik的字符串，ij满足1<i1<i2<..<ik<n，也就是没有要求子序列是元字符串中连续的字符序列。
　　为了使用动态规划技术，就需要找到最长公共子序列长度的递推公式。令L(i,j)表示A的前i个字符和B的前j个字符中最大公共子序列长度，如果i或j为0，那么L(i,j)=0，这是初始条件。当ai=bj时，最长公共子序列长度应该增加1，当ai!=bj时呢？
　　　　　　i-1 　　　　 　　 i
j-1 　　　　 L(i-1,j-1) 　　 L(i,j-1)
j 　　　　　 L(i-1,j) 　　　 if ai=bj, 　　L(i,j)=L(i-1,j-1)+1
　　　　　　　　　　　　　else, 　　　 L(i,j)=max(L(i,j-1),L(i-1,j))
　　这就是动态规划二维矩阵的递推关系。有了这个之后，求出最大长度就是很简单的事情，但是如果要求出最长公共子序列呢？
　　如果需要求出最长公共子序列的内容，需要在填写矩阵的过程这个中记录当前单元格的数字来自哪个地方，分别用左上，向左，向上的箭头表示，矩阵填写完之后，通过回溯，找出对角线上最长的箭头连线，回溯过程中箭头的优先级需要一致。
　　发现下面一篇blog讲解的十分详细，给出链接http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2012070.html。
　　另一篇也不错，http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

　　Google Code Jam 2012 Round 1C
　　Problem C. Box Factory
　　http://code.google.com/codejam/contest/1781488/dashboard#s=p2&a=2
　　这是Google编程挑战赛2012年第一轮C回的第三道题，盒子工厂。题目意思是有两条生产线A和B，分别生产盒子和玩具。现在给出两条生产线上产品的数量和类型，如果两条生产线上的产品类型一致，那么把玩具放入盒子，如果不一致，你就要求选择是把盒子还是把玩具扔掉，然后继续匹配装箱。要求给出一种方案，使得最后得到的产品最多。并且只要求给出最多的这个数，不要求具体的方案。
　　这道题与最长公共子序列类似，下面分析它的解法。
　　f(x,y)表示两条生产线上前x个盒子和前y个玩具得到的最大的产品数，递推关系如下，
　　　　　　x-1 　　　　 　　 x
y-1 　　　　 f(x-1,y-1) 　　 f(x,y-1)
y 　　　　　 f(x-1,y) 　　　 if x.type=y.type, 　　f(x,y)=f(x-1,y-1)+min(x.num,y.num)
　　　　　　　　　　　　　  else, 　　　　　　　  f(x,y)=max(f(x-1,y),f(x,y-1))
　　代码如下，

# BoxFactory.py

import sys

def ReadInt(fin):
    return int(fin.readline().rstrip("\n"))

def ReadInts(fin):
    return list(int(v) for v in fin.readline().rstrip("\n").split())

def BoxFactory(na,nb,A,B):
    L = [[0 for j in range(nb+1)] for i in range(na+1)]
    for i in range(1,na+1):
        for j in range(1,nb+1):
            if A[2*i-1]==B[2*j-1]:
                L[i][j] = L[i-1][j-1] + min(A[2*i-2],B[2*j-2])
            else:
                L[i][j] = max(L[i-1][j],L[i][j-1])
    return L[na][nb]

fname = ""
if len(sys.argv)<2:
    fname = raw_input("please input the test input:")
else:
    fname = sys.argv[1]

fin = open(fname)
fout = open("result.txt","w")
caseNum = ReadInt(fin)
for case in range(caseNum):
    (na,nb) = ReadInts(fin)
    A = ReadInts(fin)
    B = ReadInts(fin)
    r = BoxFactory(na,nb,A,B)
    answer = "Case %d: %d\n" %(case+1,r)
    fout.write(answer)

fin.close()
fout.close()

　　这是没有做任何修改的LCS的过程，但是测试结果中存在一些问题，页面给出的示例的第二个结果就不对，需要继续改进。