Algorithm Course Review(5.2)

　　归纳法这一章里提到的其他算法有整数幂，多项式求值，生成排列和寻找多数元素的算法。
　　整数幂算法中，x^n,当指数n为偶数时，可以先求解y=x^(n/2)，然后y=y^2即得到结果，当n是基数时，y=x^((n-1)/2),y=y^2,y=xy，只需要补充一步。当然，求解x^(n/2)是直接递归调用整数幂的过程。

　　多项式求值，将多项式改写为嵌套乘法的形式，以减少乘法操作的次数，使得算法加速。在http://www.cnblogs.com/skyivben/archive/2012/05/13/2497900.html#2376283 测试了这种优化方法，得出了一些很有意思的结果。

　　生成排列，给出了两种过程，可以概括一下，一种方法是，将1固定在第一个位置，后面的2,3..n生成排列，然后2固定在第一个位置，剩下的1,3..n生成排列。在用2,3..n生成排列的时候，2固定在第一个位置，3..n生成排列，递归下去。另一个方法是，生成1,..(n-1)的一个排列，然后把n插入这个排列之中。由于总排列数是n!，两种过程的时间复杂度都是nn!。

　　寻找多数元素
　　如果元素在序列A[1..n]中出现的次数多于n/2,称之为多数元素。n为偶数的时候占一半的元素并不称为多数元素。所以一个序列，要么有多数元素，要么没有，而不会出现有两个多数元素。
　　考虑到一个其他元素出现一次，多数元素就应该出现一次。所以对一个元素a计数，如果又出现这个元素，那么a出现次数加1，如果出现其它元素，那么a的次数减1.如果计数为0了，那么可以从后面从新开始找多数元素。如果a是多数元素，a一定会坚持到最后。但是如果这个序列本身没有多数元素，那么最后也会有一个元素到最后。所以找到一个多数元素之后需要检查它是否确实为多数元素。
　　代码如下，

int candicate(vector<int>& A,int m)
{
    int j = m;
    int c = A[m];
    int cnt = 1;
    int n = A.size();
    while(j<n && cnt>0)
    {
        j++;
        if(A[j]==c)
            cnt++;
        else
            cnt--;
    }
    if(j==n)
        return c;
    else
        return candicate(A,j+1);
}

bool majority(vector<int>& A,int& m)
{
    int c = candicate(A,1);
    int cnt = 0;
    int n = A.size();
    for(int j=0;j<n;j++)
        if(A[j]==c)
            cnt++;
    if(cnt>n/2)
    {
        m = c;
        return true;
    }
    else
        return false;
}    

　　归纳法最主要的问题就是找出递推关系，算法可以用递归实现，有时也可以用迭代实现。